Ограниченные предикаты

В математике часто используют предикаты, различные переменные которых определены на разных множествах значений. Кванторы общности и существования для таких переменных могут сопровождаться указанием того множества значений, на котором переменная определена.

Определение. Ограниченным предикатом называется предикат, определенной не на всей предметной области, а на множестве объектов, удовлетворяющих дополнительному условию.

Простейшие примеры ограниченных предикатов ‑ и , что имеет смысл: «для всех х, принадлежащих множеству Х, справедливо » и «существует такое х, принадлежащее множеству Х, для которого справедливо ». Очевидно, что предикат

равносилен

и

равносилен .

В более общем случае иногда удобно записывать предикаты относительно объектов, удовлетворяющих дополнительному условию, например: и . Первое из них читается: «для любого х, удовлетворяющего условию , справедливо », а второе: «существует х, удовлетворяющее условию , для которого справедливо ». Эти ограниченные предикаты равносильно можно представить так:

;

.

Например, пусть , . Тогда высказывание «Кто не рискует, тот не пьет шампанское» можно формализовать так:

или эквивалентно «любой из тех, кто не рискует, не пьет шампанское».

Другой пример. Пусть , . Тогда высказывание «Все те, кто поехал, хотели поехать» формализуется так: , а высказывание «Все те, которые хотели поехать, поехали» ‑ так .

Для ограниченных предикатов выполняются законы де Моргана:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .