II. Дифференциальные уравнения высших порядков

2.1. Общие понятия.

Литература: , гл. XIII, §16, упр. 117.

2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Литература: , гл. XIII, §17, упр. 118, 119, §18, упр. 120-124.

2.3. Линейные ДУ 2-го порядка.

Литература: , гл. XIII, §20,21, упр. 129-132, 140-146, §23-25, упр. 149-158, 164-167.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определения: а) ДУ 2-го порядка; б) его общего и частного решений. Сформулируйте задачу Коши для ДУ 2-го порядка, укажите его геометрический смысл.

2. Изложите методы решений ДУ вида:
а) б) в)

3. Дайте определение: а) линейного ДУ n-го порядка (однородного и неоднородного (ЛОДУ и ЛНДУ)); б) линейно зависимых и линейно независимых функций; в) определителя Вронского; г) фундаментальной системы решений.
Сформулируйте условия линейной независимости решений ЛОДУ. Исследуйте на линейную независимость следующие системы функций: 1) х; lnx; 2) ; ; 3) х; х².
Сформулируйте необходимое условие линейной зависимости системы функций.

4. Сформулируйте терему о структуре общего решения: а) ЛОДУ; б) ЛНДУ.

Докажите, что сумма частных решений уравнений и является решением уравнения .

5. Изложите метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

6. Выведите формулу для общего решения линейного однородного ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения.

7. Изложите правило нахождения частного решения линейного ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида: а) , где - многочлен степени ; б) .