Правила обчислення границь

Р.

Рівні засвоєння навчального матеріалу:

- п ерший рівень – початковий – відповідь студента при відтворенні навчального матеріалу – елементарна, фрагментарна, зумовлюється початковими уявленнями про предмет вивчення;

- другий рівень – середній – студент відтворює основний навчальний матеріал, здатний розв’язувати завдання за зразком, володіє елементарними вміннями навчальної діяльності (*);

- третій рівень – достатній – студент знає істотні ознаки понять, явищ, закономірностей зв’язків між ними, а також самостійно застосовує знання в стандартних ситуаціях, володіє розумовими операціями (аналізом, абстрагуванням, узагальненням тощо), уміє робити висновки, виправляти допущені помилки; відповідь повна, правильна, логічна, обгрунтована, хоча їй бракує власних суджень (**);

- четвертий рівень – високий – знання студента є глибокими, міцними, узагальненими, системними; студент уміє застосовувати знання творчо, його навчальна діяльність має дослідницький характер, позначена вмінням самостійно оцінювати різноманітні життєві ситуації, явища, факти, виявляє і відстоює особисту позицію (***).

Розділ 1. Функції, їх властивості та графіки.

План

1. Визначення функції та способи завдання.

2. Властивості функції.

3. Графіки елементарних функцій та їх властивості. Найпростіші перетворення графіків функцій (**).

4. Границя функції в точці (*).

5. Теореми про границі (***).

6. Правила обчислення границь (***).

7. Границя функції на нескінченності (*).

8. Неперервність функції в точці. Дослідження функції на неперервність (***)

9. Контрольні питання.

10. Приклади для розв’язку.

1. Визначення функції та способи задання.

Означення. Числовою функцією з областю визначення D називається залежність, при якій кожному числу x із множини D (області визначення) ставиться у відповідність єдине число y.

Записують цю відповідність так:

y = f (x).

Позначення і терміни

D (f) — область визначення;

E (f) — область значень;

x — аргумент (незалежна змінна);

y — функція (залежна змінна);

f — функція;

f (x ₀) — значення функції f у точці x ₀.

Область визначення функції f — це множина тих значень, яких може набувати аргумент x. Вона позначається D (f).

Область значень функції f — це множина, яка складається з усіх чисел f (x), де x належить області визначення. Її позначають E (f).

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо відсутні додаткові обмеження, то областю визначення функції, заданої формулою, вважають множину всіх значень змінної, при яких ця формула має зміст.

Область визначення функції має обмеження у таких випадках:

2. Властивості функції.

Функція зростає, якщо більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції і спадає в іншому випадку:

f(x) ↑↔ x₂>x₁→ f(x₂)>f(x₁);

f(x) ↓↔ x₂>x₁→ f(x₂)<f(x₁);

Функція парна, якщо при зміні значення аргументу на протилежне значення функції не змінюється:

f (-x) = f(x).

Функція непарна, якщо при зміні значення аргументу на протилежне значення функції змінюється на протилежне:

f (-x) = - f(x).

Функція, що не являється непарною та парною називається функцією загального вигляду.

3. Графіки елементарних функцій та їх властивості. Найпростіші перетворення графіків функцій.

Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини з координатами (x; f (x)).

№ з/п	Назва функції.	Формула.	Графік.
1.	Лінійна функція		Графік - пряма лінія
2.	Пряма пропорційність		Графік функції - пряма лінія, що проходить через початок координат
№ з/п	Назва функції.	Формула.	Графік.
3.	Обернена пропорційність		Графік функції - гіпербола
4.	Степенева функція		Графік функції - парабола.
	Графік функції – кубічна парабола.
№ з/п	Назва функції.	Формула.	Графік.
			Графік функції - вітка параболи
5.			Графік функції - кут, що утворений бісектрисами 1 та 2 чверті.

До найпростіших перетворень графіків відносяться:

№ з/п	Функція	Перетворення.
1.		Одержується з графіка функції зміщенням вздовж осі Оу вгору на одиниць, якщо ; вниз, якщо .
2.		Одержується з графіка функції зміщенням вздовж осі Ох вправо на одиниць, якщо ; вліво, якщо .
3.		Одержується симетричним відображенням графіка функції відносно осі Ох.
4.		Одержується симетричним відображенням графіка функції відносно осі Оу.
5.		Одержується з графіка функції розтягненням вздовж осі Оу в разів, якщо ; або стисненням до осі Ох, якщо .
6.		Має той самий вигляд, що й у графіка , тільки розтягнено від осі Ох, якщо , або стиснено до осі Ох, якщо .
7.		Ділянки графіка , які лежать праворуч від осі Оу – без зміни, і ця ж сама частина симетрично відображається відносно осі Оу.
8.		Ділянки графіка , які лежать вище від осі Ох – без зміни, а та частина, що нижче від осі Ох - симетрично відображається відносно осі Ох.
9.		Ділянки графіка , які лежать вище від осі Ох – без зміни, і ця ж сама частина симетрично відображається відносно осі Ох.

4. Границя функції в точці.

Нехай функція визначена у деякому околі точки х = x₀ за винятком, хіба що, самої точки х = x₀.

Означення. Число А називається границею функції

при

, якщо для довільного

існує число

таке, що для всіх

, які задовольняють нерівність:

, виконується нерівність

. Пишуть:

На малюнку показано:

—

- окіл точки

;

—

- окіл точки А.

Тоді геометрично це означає: що будь – якій точці з - околу відповідає деяка точка з - околу.

5. Теореми про границі.

Якщо кожна з функцій і має скінченну границю при , то справедливі формули:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Правила обчислення границь.

1. Якщо функція дробово – раціональна, то для знаходження границі чисельник і знаменник розкладають на множники, які потім скорочують, причому скоротитись повинен той множник, який обертається в нуль.

2. Якщо чисельник функції – стала величина, а границя знаменника дорівнює нулю, то границя такої функції є нескінченність.

3. Якщо функція містить знаки радикалів, то чисельник і знаменник помножають на вираз, спряжений до чисельника (знаменника), а потім застосовують формулу різниці квадратів. Вирази та називаються спряженими.

4. Якщо функція містить корінь третього степеня, то чисельник і знаменник помножають на неповний квадрат суми або різниці, а потім застосовують формулу суми або різниці кубів.

7. Границя функції на нескінченності.

Границею функції на нескінченності називається число, до якого прямує значення функції, якщо аргумент нескінченно зростає.

Розглянемо приклади:

1. Границя функції, яка представляє собою многочлен, при є не скінчен-ність.

2. Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника і знаменника однакові дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших членах.

3. Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника менша за степінь знаменника, дорівнює нулю.

4. Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника більша за степінь знаменника, дорівнює нескінченності.

8. Неперервність функції в точці. Дослідження функції на неперервність.

Означення. Число А називається границею функції справа при , , якщо функція визначена у правому - околі точки , і для будь – якого знайдеться таке , що для всіх , взятих з інтервалу виконується нерівність .

Позначають:

Означення. Число А називається границею функції зліва при , , якщо функція визначена у лівому - околі точки , і для будь – якого знайдеться таке , що для всіх , взятих з інтервалу виконується нерівність .