Точки непрерывности и точки разрыва функции

Определение 5.1. Функция а, определенная на интервале (а, в) называется непрерывной в точке х_оÎ(а, в)

Рис.5.1.

Или, если ввести следующие обозначения:

Dx = x₀ - x, Dy = f(x) - f(x₀)

Dx - приращение аргумента;

Dy - приращение функции.

Пусть y = f(x), где х - текущая точка из области определения.

Рис.5.2.

Определение 5.2. Функция f(x), определенная на Х, называется непрерывной в точке х = х_о (х_оÎХ).

1) функция в этой точке определена;

2) при Dх = х_о - х ® 0 и,

т.е. функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

f(x) - непрерывна в точке х₀ Û " e>0 $ d>0: çx-x₀ç<d, т.е. 0<çDx ç<d, çf(x)-f(x₀)ç=çf(x₀+Dx)-f(x₀)½<e.

Определение 5.3. Функция называется непрерывной на данном множестве Х, если

1) она определена на этом множестве, т.е. " х Î Х $ f(x);

2) непрерывна в каждой точке этого множества, т.е. " х Î Х справедливо.

Определение 5.4. Точка, в которой нарушается непрерывность функции,

называется точкой разрыва этой функции.

Пусть х₀ - точка разрыва функции f и существуют конечные пределы

f(x₀-0)=, f(x₀+0) =

тогда точка х называется точкой разрыва первого рода.

Величина f(x₀+0) - f(x₀-0) называется скачком функции f в точке х.

Если f(x₀-0)=f(x₀+0), то х называется точкой устранимого разрыва.

Если доопределить функцию таким образом, что

f(x₀)= = , то получим непрерывную функцию.

Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода. Таким образом, в точках второго рода по крайней мере один из пределов не существует

, .

Рис.5.3