Модель регрессии 4 страница

Необходимо по измеренным значениям оценить амплитуды и фазы составляющих сигнала, рассчитать среднеквадратические отклонения оцениваемых параметров и проверить на значимость полученные результаты.

Преобразуем сигнал в форму, удобную для применения регрессионного анализа

. (П 2)

Произведем замену

, , , .

Уравнение регрессии примет вид

, (П4)

где

. (П5)

Коэффициенты регрессии, амплитуды и фазы связаны соотношениями

, . (П6)

Решения нормальных уравнений, оценки среднеквадратических отклонений , оценок и значения статистики при проверке гипотезы : , приведены в таблице П 5.5.

Таблица П 5.5

	0.725655	2.19109	1.90765	3.81343	5.81419
	0.100258	0.141786	0.141786	0.141786	0.141786
	7.23787	15.4535	13.4544	26.8956	41.0066
	0.9221576,	2.468989	2.185544	4.091324	6.09208

Статистика распределена по нормальному закону, так как число точек отсчета достаточно, чтобы применить асимптотические свойства -распределения. Считаем, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны соответственно и .

Критические значения для проверки двусторонней гипотезы : приведены в четвертой строке таблицы 5. Как видно, все статистики больше критического значения , поэтому гипотеза : , отвергается.

Пользуясь формулами (П6), произведем оценки амплитуды, фазы составляющих сигнала и их среднеквадратические отклонения:

= 0.725655, = 2.90517, = 6.9532, = 41.0441, = 56.7398.

= 0.100258, = 0.37654, = 0.376545, = 7.42623,

= 3.10281.

Из полученных результатов видно, что оценка намного отличается от истинного значения, даже не накрывает истинное значение постоянной составляющей . Это можно объяснить соизмеримостью постоянной составляющей со среднеквадратическим отклонением шума (СКО) =1. Интервалы накрывают истинные значения амплитуд. При оценке фазы истинное значение фазы находится внутри интервала , а фаза не принадлежит интервалу . Объяснить это можно тем, что СКО шума соизмеримо со значениями измеряемых величин, при оценках амплитуд и фаз применяются косвенные методы оценок, мало время наблюдения. Одним из методов уменьшения среднеквадратических ошибок измерений мог бы быть статистическая обработка серий измерений.

Отличительной особенностью примера 5.2 (по сравнению с примером 5.1) является то, что функции были определены из самой постановки задачи как гармонические функции с известными частотами. В примере 1 функции были взяты произвольно. Дополнительная информация об исследуемом объекте дала возможность получить довольно хорошие результаты в примере 5.2

Приложение

Программа 1

вычисления положительного значения по заданному уровню значимости для левой части неравенства (3.9).

t0= 3.15398 a= 0.05

Из приведенных вычислений для левой границы неравенства рассмотрим для сравнения два значения , превышающее 0.05 и меньшее 0.05.

t0 = 3.1539767000000003, a = 0.05000000362459883

t0 = 3.1539768 a = 0.04999999534904759

Как видно, с точностью до 8-го знака можно взять а=0.05

Программа 2

моделирования процедуры проверки гипотезы о принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности

Программа 3

вычисления коэффициента корреляции Спирмена

Программа 4

моделирования регрессионного анализа

для логистической кривой

Аппроксимирующая функция

.

a2=ListPlot[Y,AxesOrigin®{0,0},Frame®True,PlotStyle®PointSize[0.02],GridLines®Automatic,DisplayFunction®Identity];

"R1=Plot[Ww,{x,0,12},PlotRange®All,Frame®True,GridLines®Automatic,

PlotStyle®Thickness[0.008],DisplayFunction®Identity];";

Y1=Z.q1;

"Y1- вектор, оценка значений функции Y по оценкам q1";

U=Table[0,{i,Nn}];"U[[i]]- Остаточный шум";

Do[U[[i]]=Y[[i]]-Y1[[i]],{i,Nn}];

b1=ListPlot[Y1,AxesOrigin®{0,0},Frame®True,PlotStyle®PointSize[0.02],GridLines®Automatic,DisplayFunction®Identity];

b2=ListPlot[Y1,AxesOrigin®{0,0},Frame®True,PlotJoined®True,

PlotStyle®Thickness[0.008],

GridLines®Automatic,DisplayFunction®Identity];

Do[Print["Y[",i,"]= ",Y[[i]]," Y1[",i,"]= ",Y1[[i]]," Y0[",i,"]= ",Y0[[i]]," Rn[",i,"]= ",Rn[[i]]" U[",i,"]= ",U[[i]]],{i,Nn}];

Литература

1. Крамер Г. Математические методы статистики, М., Мир, 1975, 648 с.

2. Дунин-Барковский И.В, Смирнов Н.В. Курс теории вероятности и математической статистики, М., Наука, 1965, - 512 с.

3. Кендал М.Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М.: Наука 1973, 900. с.

4. Большев л.н., Смирнов Н.В., Таблицы математической статистики, М., Наука, 1983, 416 с.

5. Левин Б.Р., Теоретические основы статистической радиотехники, т. 2. М. Сов. Радио, 1968, 504 с.

6. Большев л.н., Об исключении грубых наблюдений.- Теория вероятностей и её применения, 1961, 6, с. 482-484.

7. Пустыльник Е.И., Статистические методы анализа и обработки наблюдений,, М., Наука, 1968, 288 с.

8. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул, М., Высшая школа, 1982, 224 с.

9. Фёрстер Э., Рёнц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. - М.: Финансы и статистика, 1983. 302 с.

10. Кассандрова О.Н. Обработка результатов измерений. - М.: Наука, 1970. 104 с.

11. Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статистики. - М.: Финансы и статистика, 1982. 344 с.

12. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ, книга 1. - М.: Финансы и статистика, 1986. 366 с.

13. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ, книга 2. - М.: Финансы и статистика, 1987. 351 с.

14. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1984. 248 с.

15. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф., Справочник по теории вероятностей и математической статистике.- М.: Наука, 1985.-640 с.

16. Уилкс С. Математическая статистика. – М.: Наука, 1967.-632 с.

17. Леман Э. Проверка статистических гипотез, М. Наука, 1964, 500 с.

18. Дунин-Барковский И.В,Смирнов Н.В. Теория вероятностей и математическая статистика в технике, М., Изд-во технико- теоретической литературы, 1955, - 556 с.

Оглавление

1. Распределения, связанные с суммой случайных величин. 4

1.1 Распределение Стьюдента. 4

1.2 Распределение Фишера. 10

2. Проверка гипотез. 12

3. Отсев грубых измерений. 24

3.1 Общие положения. 24

3.2 Отсев грубых измерений по малым выборкам.. 25

3.3 Исключение грубых погрешностей. 27

4. Свободные от распределения методы

для непараметрических задач. 31

4.1 Критерий об однородности двух выборок. 32

4.2 Проверка гипотезы о некоррелированности

двух распределений. 35

5. Регрессионный анализ. 41

5.1 Модель регрессии. 41

5.2 Анализ ошибок. 45

5.3 Дисперсия оценок параметров регрессии. 49

5.4 Коэффициент корреляции. 51

5.5 Доверительный интервал. 51

5.6 Проверка значимости коэффициента корреляции. 53

5.7 Значимость коэффициента детерминации. 55

Пример 5.1. 63

П 1. Оценка параметров регрессии. 63

П 2. Анализ ошибок. 65

П 3. Значимость коэффициента детерминации. 66

П 4. Значимость оценок параметров регрессии. 66

Пример 5.2. 68

Приложение. 71

Программа 1 вычисления положительного значения ........ 71

Программа 2 моделирования процедуры проверки гипотезы.. 72

Программа 3 вычисления коэффициента корреляции Спирмена. 73

Программа 4 моделирования регрессионного анализа. 74

Литература. 79

1. Экспериментатор может выбрать любую функцию , но при этом он должен обосновать свой выбор.