Доверительные интервалы для оценки математического ожидания случайной величины X, имеющей нормальное распределение при известном среднем квадратическом отклонении

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью γ покрывает заданный параметр.

Заданы генеральная совокупность с нормальным распределением признака Х. Причём среднее квадратическое σ(х) известно. Требуется оценить, в смысле интервальной оценки, неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Т.е. мы должны найти доверительный интервал, покрывающий параметр с надежностью γ.

Можно рассматривать выборочную среднюю как с/в и выборочные значения (элементы выборки признака х₁, х₂, х₃..x_n) как одинаково распределенные случайные величины Х₁, Х₂, Х₃..Х_n, т.е. математическое ожидание каждой из этих величин равно а, а среднее квадратическое равно σ.

Будем считать, что если с/в Х распределена нормально, то выборочное среднее , найденной по независимым наблюдениям, также распределено нормально.

А параметры распределения мы уже находили: М()=а, D()=D/n, σ()=σ/√n.

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение:

Решение:

Вместо σ и Х подставляем σ/√n и :

->

С надежностью γ доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а. Точность оценки

№ 14