Приближенные методы решения нелинейных алгебраических уравнений

Необходимость отыскания корней характеристического уравнения всегда возникает при расчете переходного процесса в линейных электрических цепях. В общем случае характеристическое уравнение может быть сколь угодно высокого порядка. Значения, которые могут принимать корни характеристического уравнения дают представление о характере переходного процесса и в общем случае могут принимать комплексные значения.

Алгебраическое уравнение - ной степени задается в следующем виде:

Относительно небольшое количество задач отыскания корней нелинейных алгебраических уравнений можно решить аналитически, на практике почти всегда приходится находить решение уравнений с помощью численных методов.

Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений состоит из двух этапов:

· этап отделения корней

· этап уточнения корней

Пусть требуется найти корни уравнения . Этап отделения корней этого уравнения заключается в нахождении всех интервалов в области определения функции , на концах которых функция меняет знак. Количество интервалов определяется по числу корней. Не существует универсального метода, позволяющего отделить все корни нелинейного алгебраического уравнения. В качестве возможных способов отделения корней могут быть предложены следующие способы.

· Графический способ. Приближенно строится график функции и по графику определяются интервалы на оси , на которых функция меняет знаки.

· Табличный способ. Строится таблица, состоящая из двух строк, в первой строке с каким-то произвольным шагом изменяется значение аргумента , желательно на отрезке симметричном относительно . Во второй строке вычисляются соответствующие значения функции . Если в соседних ячейках второй строки функция меняет знак (причем неважно с + на – или с - на +), то считается что на этом интервале находится хотя бы один корень.

· Способ нахождения верхних и нижних границ положительных и отрицательных корней.