Уравнение прямой, проходящей через одну заданную точку, через 2 точки

у - у₁=k(х - х₁)

уравнение прямой: у=kх+в

Если мы преобразуем первоначальное уравнение у - у₁=k(х - х₁), то получим у=kх+(у₁-kх₁) Оно удовлетворяет условия уравнения прямой: у=kх+в, т.к.

1. его степень первая, а значит оно может быть прямой,

2. прямая проходит через точку (х₁; у₁), т.к. координаты этой точки удовлетворяют уравнению: 0=0

3. роль коэфициента в играет выражение у₁-kх₁

Прямая с уравнением у - у₁=k(х - х₁) проходит через 1 точку. Потребуем, что бы и вторая точка лежала на этой прямой, т.е. что бы выполнялось равенство у₂ - у₁=k(х₂ - х₁). Отсюда находим k= у₂ - у₁¸ х₂ - х₁ и подставим в уравнение:

у - у₁ = у₂ - у₁¸ х₂ - х₁×(х - х₁) или

х - х₁¸х₂ - х₁= у - у₁¸у₂ - у₁

15.Угол м/у прямыми на плоскости

Прямые: у=k₁х +в₁, у=k₂х +в₂

В тр-ке АВС сумма внутр. углов a₁+b равна внешнему углу a₂ поэтому b=a₂-a₁Очевидно, tga₁= k₁; tga₂= k₂.Проименяя формулу для tg разности 2х углов получим tgb=tg(a₂-a₁)= tga₂-tga₁¸1+ tga₂×tga₁

Окончательно имеем tgb= k₂- k₁¸1+k_2××k₁Вычислив тангенс можно найти и сам угол b.

16. Условия || и ^ прямых на плоскости.

Даны уравнения прямых с угловым коэф. у=k₁х и у=k₂х +в₂

Условия || прямых -это равенство угловых коэф. к₁=к₂ (1)

Условие (1) выполн. и для слившихся прямых. Формулу углового коэф. прямых (tga= k₂- k₁¸1+k_2××k₁) можно записать ввиде: ctga= 1+k_2××k₁¸k₂- k₁ (это в сслучае, если к₁¹к₂). Условие ^ прямых выражается равенством k_2××k₁= -1. Если к₁=0 или к₂=0, то одна из прямых || оси Ох, а вторая ей ^, имеет уравнение вида х=а.

Пусть прямые заданы общим уравнением. А₁х+В₁у+С₁=0, А₂х+В₂у+С₂=0, Если В1=В2=0, то обе прямые параллельны оси Оу и между собой (их уравнения имеют вид х=а) Если В1=0, а В2¹0, то прямые^. В случае когда А2=0 (уравнение приводится к виду х=а, у=в)В случае В1¹0 и В2¹0можно выразить у в каждом уравнении. у= -А1х¸В1-С1¸В1;

У= - А2х¸В2-С2¸В2, тогда к1= -А1¸В1, а к2= - А2¸В2 и условие || А1¸В1= А2¸В2 или А1¸А2= В1¸В2.

С помощью равенства 1+к1×к2=0, 1+ А1¸В1× А2¸В2=0. Приходим к условию ^прямых А1×А2+В1×В2=0.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая расстояния между фокусами)

Уравнение элипса примет самый простой вид, если фокусы разместить на оси Ох слева от начала координат на равном от него расстоянии. F₁ F₂ - фокусы эллипса. Обозначим F₁F₂ = 2c тогда фокусы имеют координаты (-с,0) и (с,0). Расстояния о фокусов до текущей точки эллипса М обозначим r₁ и r₂. Их называют фокальными радиусами. Постоянную величину r₁ + r₂ обозначим 2а: r₁ + r₂ =2а. помещая точку М в точки и А' легко сообразить, что А'А = 2а. Отрезки AA' и ВВ' называются осями эллипса, а отрезки ОА и ОВ - полуосями эллипса. Точки А,А',В,В' называют вершинами эллипса. Пусть М(х,у)находится в точке В, тогда r₁ = r₂ =а. Из тр-ка ВОF₂ ВО=ÖBF₂²-OF₂² Обозначим ВО=в, тогда в=Öа² - с² . Через полуосиэллипса а и в уравнение запишится так:

Это уравнение называют каноническим уравнением эллипса. Окружность - частный случай эллипса, получается при а=в=R(R - радикс окружности). Чем больше отличаются друг от друга полуоси а и в, тем более сплюснутым будет эллипс. Степень сплюснутости эллипса принято измерять эксцентриситетом

Очевидно, 0£ɛ£1. При ɛ=0 имеем окружность, с увеличением ɛэллипс все больше отличается от окружности, становясь более выпуклым.