Приложения криволинейных интегралов

Длина l дуги АВ плоской или пространственной кривой вычисляется по формуле

.

В частности, если пространственная линия задана параметрическими уравнениями , , , то

. (7.14)

Площадь S фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L, находится по формуле

. (7.15)

Масса m материальной дуги L определяется формулой

, (7.16)

где - линейная плотность в точке M(x, y, z) этой дуги.

Прямоугольные координаты центра тяжести материальной дуги находятся по формулам

, , , (7.17)

где m определяется формулой (7.16).

Если - переменная сила, совершающая работу W вдоль пути L, и функции , , непрерывны, то

. (7.18)

Пусть сила имеет потенциал, т.е. существует функция , такая, что выражение является её полным дифференциалом , тогда, независимо от пути L, работа

,

где и - соответственно начальная и конечная точки пути.

Замечание. Если линия L лежит в плоскости Оху, то формулы (7.14), (7.16) – (7.18) упрощаются, так как соответствующие функции не зависят от z.