Приложение. 1. Исчисление высказываний L2

1. Исчисление высказываний L₂.

Список термов исчисления: {I, +, =}

Правила образования формул:

а) I - формула;

б) если j - формула, то jI - также формула;

в) если j и y - формулы, то j + y и j = y также формула.

Задана единственная аксиома I+I = II и

два правила вывода: а) если j₁+I = j₂ – выводимая формула, то j₁I+I = j₂I также выводимая формула; б) j₁+j₂ = j₃ – выводимая формула, то j₁+j₂I = j₃I – также выводимая формула.

2. Исчисление высказываний L₃ (исчисление Лукасевича).

Множество термов состоит из бесконечного числа букв и знаков `, Þ.

Правила образования формул:

а) все буквы есть суть формулы;

б) если j - формула, то `j - также формула;

в) если j и y - формулы, то j Þ y также формула.

Система аксиом следующая:

1) (A Þ B) Þ ((B Þ C) Þ (A Þ C));

2) (`A ÞA) ÞA;

3) A Þ (`A Þ B).

Справедливы правило подстановки и правило заключения.

3. Исчисление высказываний L₄ (Гильберт и Аккерман, 1938).

· Связки: Ø, (А ® В:= Ø А В).

· Аксиомы:

1. А A ® А,

2. А ® А В,

3. А В ® В А,

4. (В ® С) ® (А В ® А С).

· Правило: Modus ponens.

4. Исчисление высказываний L₅ (Россер, 1953).

.

Связки: &, Ø, (А ® В:= Ø (А & Ø В)).

Аксиомы:

1. А ® А & А,

2. А & В ® А,

3. (А ® В) ® (Ø (В & С) ® Ø (С & А)).

Правило: Modus ponens.

5. Исчисление высказываний L₆ (Клини, 1952).

· Связки: Ø, &, , ®.

· Аксиомы:

1. А ® (В ® А),

2. (А ® (В ® С)) ® ((А ® В) ® (А ® С)),

3. А & В ® А,

4. А & В ® В,

5. А ® (В ® (А & В)),

6. А ® (А В),

7. В ® (А В),

8. (А ® С) ® ((В ® С) ® ((А В) ® С)),

9. (А ® В) ® ((А ® Ø В) ® Ø А,

10. ØØ А ® А.

· Правило: Modus Ponens.