Занятие №2

Тема: Рассуждения. Логические задачи.

I.Ответьте на следующие вопросы:

1. Какие формулы логики высказываний называются логическими законами?

2. Дайте определение необходимых, достаточных, необходимых и достаточных условий. Приведите примеры.

3. Какие высказывания называются логически эквивалентными, противоречивыми, совместимыми, противоположными?

4. Что называется рассуждением?

5. Какое рассуждение называется логически корректным?

6. В каком случае формулу В называют логическим следствием формул (посылок) ?

7. Назовите законы алгебры высказываний, лежащие в основе различных методов доказательств.

8. Какое множество формул называется противоречивым (непротиворечивым)?

II.Выполните следующие упражнения:

1. Докажите, что следующие формулы являются тавтологиями (законами) алгебры высказываний:

а) – закон заключения;

б) , – закон удаления конъюнкции;

в) , – закон введения дизъюнкции;

г) – закон удаления дизъюнкции;

д) – закон введения двойного отрицания;

е) – закон удаления двойного отрицания;

ж) – закон введения эквиваленции;

з) , – законы удаления эквиваленции;

и) – закон контропозиции;

к) – закон доказательства от противного;

л) – закон силлогизма;

м) – закон сложения посылок;

н) – закон умножения заключений.

2. Приведите примеры из курса школьной математики (различных курсов математики) доказательства теорем, рассуждений, основанных на правилах, соответствующих законах алгебры высказываний, которые перечислены в упражнении 1.

3. Сформулируйте в виде импликации или эквиваленции следующие истинные высказывания:

a) чтобы выполнялось A, необходимо, чтобы выполнялось B;

b) чтобы выполнялось A, достаточно, чтобы выполнялось B;

c) чтобы выполнялось A, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось В.

4. Сформулируйте следующие теоремы в виде необходимого (достаточного) условия:

а) если два треугольника конгруэнты, то их площади равны;

б) вертикальные углы равны;

в) в точке дифференцирования функция непрерывна;

г) число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9;

д) параллельные прямые центрально симметричны;

е) если два комплексных числа равны, то равны их действительные и мнимые части соответственно;

ж) если сумма квадратов действительных чисел a и b равна нулю,

то a = 0 и b = 0;

з) если число делится на 2 и 5, то оно делится на 10;

и) диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

5. Вставить пропущенные слова (необходимо, достаточно, необходимо и достаточно) так, чтобы получились верные высказывания:

а) для того, чтобы две прямые были параллельными, …, чтобы они были перпендикулярны третьей прямой;

б) чтобы квадратный трехчлен разлагался на множители над R, …, чтобы его дискриминант был не меньше нуля;

в) чтобы функция была непрерывной в точке, …, чтобы ее предел и значение в этой точке были равны;

г) чтобы дифференцируемая функция возрастала на (a,b), …, чтобы ее производная на этом промежутке была неотрицательной;

д) чтобы сумма двух чисел была четной, …, чтобы каждое слагаемое было нечетным числом;

е) чтобы четырехугольник был ромбом, …, чтобы диагонали его были взаимно перпендикулярны;

ж) чтобы углы были равны, …, чтобы их стороны были попарно параллельны;

з) чтобы четырехугольник был прямоугольником, …, чтобы его диагонали были равны;

и) чтобы плоскость α проходила через прямую a, перпендикулярно плоскости β, …, чтобы плоскости α и β были перпендикулярными;

к) чтобы множество A было подмножеством множества B, …, чтобы они были равны;

л) чтобы две плоскости были перпендикулярными, …, чтобы одна из них проходила через прямую, перпендикулярную другой плоскости;

м) чтобы множества A и B были равны, …, чтобы множество A было подмножеством B.

6. Установите, верны ли следующие высказывания:

а) чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы они имели общую сторону.

б) чтобы углы были смежными, необходимо и достаточно, чтобы две стороны их были противоположными лучами;

в) чтобы построить окружность, достаточно иметь на плоскости три различные точки, не лежащие на одной прямой;

г) чтобы построить окружность определенного радиуса, необходимо иметь на плоскости три точки;

д) чтобы треугольники были подобны, необходимо и достаточно, чтобы их углы были равны;

е) чтобы , достаточно, чтобы ;

ж) чтобы , необходимо и достаточно, чтобы ;

з) чтобы множество A, разбить на классы, достаточно на множестве A задать отношение эквивалентности;

и) чтобы система n линейных уравнений была совместной, необходимо, чтобы ранги основной и расширенной матриц были равны

7. Запишите высказывания обратные, противоположные, противоположно-обратные для следующих теорем. Укажите, какие из них верны и попарно равносильны:

а) Если в четырехугольнике две противоположные стороны конгруэнты и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.

б) Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

в) Если треугольник равнобедренный, то два угла его равны.

г) Если каждое слагаемое суммы чисел кратно некоторому числу a, то и сумма кратна этому числу.

д) Если многочлен делится на , то .

е) Если многочлен нечетной степени с целыми коэффициентами, то он имеет хотя бы один действительный корень.

ж) Если , , .

з) Если алгебраическая система группа, то операция ассоциативна.

и) Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.

к) Диагонали квадрата равны.

9. Доказать, что формула В – логическое следствие посылок .

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , ;

д) , , .

10. Выяснить, является ли формула В логическим следствием посылок .

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , ;

д) , , , ;

е) , , ;

ж) , , ;

з) , , , ;

и) , , ;

к) , , .

11. Найдите все следствия из посылок:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

е) , ,

ж) , ;

з) , ;

и) , , ;

к) , , .

12. Исследовать противоречивость следующих множеств формул.

а) , , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , , ;

е) , , ;

ж) , ;

з) , , ;

и) , , ;

к) , , , .

13. Проверить, правильны ли следующие рассуждения:

а) Если студент много занимается, то он успешно сдает экзамен. Следовательно, студент, получивший на экзамене неудовлетворительно, занимался мало.

б) Если четырехугольный ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

Данный четырехугольник ABCD – ромб. Следовательно, диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

в) Для того, чтобы быть допущенным к экзаменам, необходимо получить зачет по логике. Я получу этот зачет, если научусь устанавливать непротиворечивость множества формул. Я этот способ не усвоил. Следовательно, я не буду допущен к экзаменам.

г) Если фигура есть параллелограмм, то противоположные стороны ее параллельны и заключены между другими параллельными сторонами.Если отрезки параллельных прямых заключены между другими параллельными прямыми, то они равны. Следовательно, если фигура параллелограмм, то противоположные стороны его равны.

д) Если из вершины прямого угла треугольника опустить перпендикуляр на гипотенузу, то образуются два треугольника, y которых два угла соответственно равны. Если в двух треугольниках два угла равны, то треугольники подобны.Если два треугольника подобны, то сходственные стороны их пропорциональны. Следовательно, если из вершины прямого угла треугольника опустить перпендикуляр на гипотенузу, то отрезки гипотенузы пропорциональны прилежащим катетам.

е) Если два числа равны, то равны и их кубы. Числа m и n равны. Следовательно, равно .

ж) Если α и β – вертикальные углы, то они равны. Угла α и β – не вертикальные.

Углы α и β – противоположные углы параллелограмма. Следовательно, если α и β противоположные углы параллелограмма, то они равны.

з) В треугольнике ABC перпендикуляр AM, опущенный из вершины угла А на сторону ВС, делит угол А пополам. Следовательно, в треугольнике АВС АМ является высотой и биссектрисой.

и) Число a кратно 3 и 5. Следовательно, число а делится на 5

к) Число a равно , где . Следовательно, число а, натуральное и рациональное.

л) В рассматриваемых четырехугольниках диагонали в точке пересечения делятся пополам или взаимно перпендикулярны. Установлено, что диагонали ABCD не делятся пополам. Следовательно, диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

м) Число a равно 4. Следовательно, не верно, что

н) Неверно, что АМ не является биссектрисой угла А. Следовательно, АМ – биссектриса угла.

о) Параллельные прямые центрально симметричны и, обратно, центрально-симметричные прямые параллельны. Следовательно, прямые центрально симметричны в том и только том случае, когда они параллельны.

п) Два комплексных числа равны, если и только, если равны их действительные и мнимые части соответственно. Следовательно, если два комплексных числа равны, то равны их действительные и мнимые части соответственно.

р) Обозначим через А множество всех простых чисел. Предположим, что А конечно, т.е существуют такие простые числа , что . Легко видеть, что число имеет простой делитель не равный ни одному из чисел . Таким образом, . Следовательно, множество простых чисел бесконечно.

с) Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный. Кроме того, равнобедренный треугольник будет и в том случае, если две его стороны равны. Следовательно, чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, чтобы два угла или две его стороны были равны.

14. Известно, что каждый из двух персонажей А и В является рыцарем, либо лжецом. Выясните, кто есть кто, если А высказывает следующее утверждение:

а) «По крайней мере один из нас лжец».

б) «Я лжец, а В не лжец».

в) «Или я лжец, или В рыцарь».

15. Известно, что каждый из А, B, C является либо рыцарем, либо лжецом. Установите, можно ли определить, кто есть кто по следующим высказываниям.

А: «Мы все рыцари».

В: «Ровно один из нас рыцарь».

16. Ключ от замка спрятан в одной из трех шкатулок (черной, белой, красной), на крышках которых сделаны надписи:

на черной: «ключ не в белой шкатулке»;

на белой: «ключ не в этой шкатулке»;

на красной: «ключ в этой шкатулке».

В какой шкатулке ключ, если известно, что из трех надписей на крышках, по крайней мере, одна истинна и, по крайней мере, одна ложна?

17. Студент после сдачи трех экзаменов: алгебры, геометрии, математического анализа высказал следующие утверждения:

Я сдал, по крайней мере, один экзамен на отлично. Если я сдал на отлично геометрию, а не алгебру, то я так же сдал на отлично и математический анализ.

Я сдал на отлично математический анализ и алгебру, либо не сдал на отлично ни одного из них. Если я сдал на отлично алгебру, то я также сдал на отлично и геометрию

Какой предмет он сдал на отлично?