Мартингейл

Наиболее яркий представитель финансовых (ставочных) стратегий. Суть Мартингейла заключается в удвоении суммы ставки при проигрыше предыдущей ставки. Тогда один единственный выигрыш в серии неудач возвращает нам все, что было проиграно до этого, и дает еще небольшой выигрыш в размере первоначальной ставки.

Неважно, ограничен банк или сумма ставки или нет - Мартингейл не меняет математическое ожидание результата игры. Если мы играем в орлянку с правильной монетой, то наш ожидаемый выигрыш будет равен нулю, используем мы Мартингейл или не используем, ограничен банк и сумма ставки или не ограничены. То есть, если игра идет без комиссии, то Мартингейл будет беспроигрышной (и безвыигрышной) системой. Впрочем, как и любая другая система. Если мы играем в орлянку с гнутой монеткой и перевес не в нашу пользу, то Мартингейл не позволит нам выправить ситуацию и сделать игру прибыльной.

Однако при неограниченном банке и неограниченной максимальной ставке Мартингейл даже при отсутствии Перевеса и, даже при отрицательном перевесе, обладает одним привлекательным свойством - вероятность выигрыша игрока стремится к (фактически равна) 1. Это означает, если у Вас неограниченный банк и сумма ставки тоже неограниченна, то, фактически, Мартингейл это выигрышная стратегия при любой комиссии, то есть при любом отрицательном перевесе. Если Вы поставите миллион, а при проигрыше будете увеличивать ставку так, чтобы компенсировать проигрыш, возможную комиссию и обеспечивать потенциальный выигрыш снова миллиона, то (практически) 100% вы этот миллион выиграете, еще до конца того часа, в начале которого начали игру.

Ограниченный Мартингейл таким замечательным свойством не обладает, и математическое ожидание игры (средний профит при долгосрочной игре) тоже не меняет, впрочем, как и неограниченный.

Но разница между обычной игрой и игрой по системе Мартингейл все-таки есть, и она очень существенная. Ниже приводятся результаты численных экспериментов. Было сделано 10000 серий по 1000 ставок каждая, всего 10000000 (десять миллионов) ставок. Случайные числа брались с сайта random.org, где они генерировались с помощью атмосферных шумов и тому подобных физических процессов.

Сначала рассмотрим игру без комиссии, то есть 'справедливую' игру.

Вот распределение, полученное для обычной игры ординарами, без использования Мартингейла. Оно, как и положено, имеет вид нормального распределения с матожиданием (средним профитом) равным 0 и среднеквадратичным отклонением равным ~ 30 (сигма). Как видно, практически все реализации случайной величины находятся в пределах от -100 до +100, то есть в пределах трех сигм от центра распределения.

Как меняется это распределение при игре Мартингейлом. Ниже приводятся распределения результатов для игры Мартингейлом с максимальной допустимой проигрышной серией из 6, 10 и 12 ставок соответственно.

Видно, что распределение визуально сдвигается вправо, то есть в сторону выигрышей и имеет несколько отчетливо выраженных пиков. Большие пики (максимумы) находятся на 'выигрышной' стороне распределения. Это ни в коей мере не означает, что выигрывают (в целом по сумме) больше, чем проигрывают. Острые пики возникают потому, что в эксперименте каждая серия имеет ровно 1000 ставок. Если бы серии имели разное количество ставок, то пики были бы размазанными 'плато'. Но сам факт визуального смещения распределения результата в сторону выигрышей налицо. Но если суммарный проигрыш равен суммарному выигрышу, то, что означает такое смещение? Для того, чтобы это понять построим график вероятности проигрыша в зависимости от длины максимальной серии Мартингейла. Он приводится на этом рисунке.

Из него видно, что вплоть до серий с длиной 9, вероятность проигрыша остается равной половине, то есть, как и без Мартингейла. Более того, при максимальной серии из 9 ставок вероятность проигрыша даже больше чем при обычной игре и меньших сериях. А вот дальше начинается резкое уменьшение вероятности проиграть. При максимальной проигрышной серии из 12 ставок вероятность проиграть чуть более 10%. Это означает что 90% игроков, играя в Мартингейл с максимальной серией из 12 ставок, будут выигрывать. Тем самым, создавая иллюзию, что Мартингейл выигрышная система. Понятно, что средний выигрыш этих 90% выигравших игроков значительно меньше, чем средний проигрыш 10% проигравших. Так как в сумме никто не выигрывает. Вот и получается ситуация, которую можно назвать 'лотерея наоборот'. В обычной лотерее, много людей проигрывается понемногу, чтобы кому-то повезло выиграть приличную сумму. В лотерее наоборот многие выигрывают понемногу, а некоторые неудачники рассчитываются за всех выигравших.

Какой может быть серия из 12 ставок, при которой риск проиграть после 1000 ставок (при игре без комиссии) чуть более 10%? Например, такой:

1-й шаг: $1
2-й шаг: $2
3-й шаг: $4
4-й шаг: $8
5-й шаг: $16
6-й шаг: $32
7-й шаг: $64
8-й шаг: $128
9-й шаг: $256
10-й шаг: $512
11-й шаг: $1024
12-й шаг: $2048

МЕТОД (СИСТЕМА) СЛУЧАЙНОГО ПЛЕЧА ВИЛКИ   Вилки являются хорошим инструментом игрока сами по себе. Но у них есть еще одно полезное свойство. Они являются неплохим источником ставок с перевесом. А именно - среди ставок составляющих вилку хотя бы одна ставка является ставкой с перевесом над конторой. Если Вы посмотрите на все ставки данной конторы или множества контор, то много ли Вы сможете сказать наверняка про количество ставок с перевесом? - я думаю практически ничего. А вот если мы рассмотрим все ставки, входящие вилки то мы можем высказать одно вполне обоснованное суждение - среди ставок входящих в вилки не меньше 33% составляют ставки с перевесом. Действительно рассмотрим истинные вероятности исходов матча: P1 + PX + P2 = 1 Допустим, что все коэффициенты в вилке (K1, KX, K2) меньше коэффициентов соответствующих этим истинным вероятностям исходов спортивного события. K1 <= 1/P1 KX <= 1/PX K2 <= 1/P2 Тогда, суммируя неравенства, получаем 1/K1 + 1/K2 + 1/K3> = P1 + PX + P2 = 1 Что противоречит исходному предположению, что коэффициенты образуют вилку. Значит, хотя бы один из коэффициентов K1, KXили K2 будет удовлетворять условию K > 1/P, то есть являться ставкой с перевесом. Понятно, что если рассматривать только двух-исходовые вилки, то процент ставок с перевесом среди них будет не меньше 50%. Неплохая исходная позиция для реального практического поиска ставок с перевесом. Существует простая стратегия, дающая гарантированный выигрыш в среднем за большой период - ставить случайным образом на один из исходов вилки. Доказательство выигрышности этой стратегии очень простое, хотя и не совсем строгое. Возьмем двух игроков. Один будет делать ставки из тех, что входят в состав вилки, совершенно случайным образом. А второй будет делать каждый раз ставку противоположную, той которую сделал первый игрок. Ясно, что ставки сделанные вторым игроком тоже 'случайны'. То есть, математическое ожидание выигрыша у обоих игроков должно быть одинаковым. Пусть оно будет равно W. Но вместе они выигрывают 2*W. Поскольку, фактически каждый раз вместе оба игрока 'проводят' вилку, то 2*W > 0 и W > 0, то есть стратегия случайного отбора ставки в вилке - выигрышная в среднем стратегия. Для практического использования алгоритм следует уточнить. Сумма ставки - постоянна (флет), или случайна, в каком-то диапазоне. Существует большая вероятность, что для плеча вилки, имеющего реальный перевес, контора быстро урежет максимум суммы ставки до величины ниже, чем предполагаемая сумма ставки. Если это не учитывать, то возникнет асимметрия, которая сделает алгоритм неприемлемым. Для восстановления симметрии применяем следующее правило. Перед тем как делать ставку на выбранное случайное плечо, проверяем также и противоположное плечо. На тот предмет, что там можно сделать ставку по той сумме, которую Вы заранее определили. То есть, что максимум не урезан. Если максимум урезан хотя бы в одном из плеч вилки, то ставка не делается вообще. Применяя метод 'случайного плеча вилки', Вы можете иметь представление о величине Вашего перевеса. Как следует из доказательства его 'прибыльности', величина перевеса случайного плеча вилки будет равна величине прибыльности вилки, из которой выбирается случайное плечо. Для того, чтобы в этом убедиться достаточно в предыдущем доказательстве выбирать случайно ставки но не из всего множества вилок, а из множества вилок с определенной прибыльностью. А значит можно вполне обоснованно применить какой-нибудь вариант критерия Келли, который для увеличения скорости прироста банка ставит сумму ставки в зависимость от Вашего перевеса. Дальнейшие изыскания могут быть в направлении дополнительной фильтрации вилочных исходов, с тем, чтобы повысить процент ставок с перевесом в отфильтрованном множестве. Например, часто в трех-исходной вилке два исхода находятся в одной конторе, а третий в другой. На мой взгляд, в такой ситуации более вероятно, что ставка с перевесом не будет среди тех двух, что находятся в одной и той же конторе. Весьма правдоподобным будет предположение, что плечо с перевесом будет c меньшей вероятностью достигаться на линиях, которые предлагаются несколькими конторами одновременно. Так как, на мой взгляд, маловероятно, что несколько контор сразу сдвинули линии настолько, что смогла образоваться ставка с перевесом. Но это все только предположения.

НЕПОЛНАЯ ВИЛКА   Некоторые игроки, авторы статей по теории ставок на спорт и стратегий ставок (Geoffry, Ботин С), рассматривают так называемые неполные вилки. Берутся ситуации, когда коэффициенты выбранных исходов не образуют нормальной вилки. Но один из исходов 1.недооценен букмекерской конторой 2.то есть, по мнению игрока, должен иметь гораздо больший коэффициент. Заниженный коэффициент часто бывает на ничью, чья вероятность, по мнению игрока, должна быть намного меньше, чем вероятность, вычисленная в соответствии с коэффициентом конторы. Если поставить на все исходы кроме ничьей и пренебречь вероятностью ничьей, то может получиться так называемая неполная вилка. В том случае, если оставшиеся исходы образуют реальную вилку (уже двух-исходную). На эту ситуацию можно взглянуть и с другой стороны. Можно рассматривать ее как value bet на две и более ставки. Действительно, обычно valuebet это ставка на исход с завышенным, по мнению игрока, коэффициентом. На него имеется смысл ставить, так как коэффициент выплаты больше, чем должен быть, будучи вычисленным по истинной вероятности исхода (которую имеет в виду игрок). Однако иногда бывает легче увидеть не завышенный, а заниженный коэффициент. В случае 3-х исходов коэффициенты на два остающихся исхода могут быть завышены. А могут и не быть завышены, если понижение исходного коэффициента произошло в основном за счет маржи. Может быть завышен, например, только один коэффициент. Так как ставить в том случае если Вы решили поставить на два остающихся исхода? Автор идеи неполной вилки предлагает ставить на два остающихся исхода, если они образуют вилку - так называемую 'неполную'. Но поскольку игра все же может закончиться, например, ничьей (третий, неучтенный исход - и при этом денежки пропадут), то эта 'вилка', в отличие от нормальной вилки, ничего не гарантирует. Нетрудно показать, что для того чтобы неполная вилка давала в среднем выигрыш, необходимо чтобы процент прибыльности 'неполной' вилки был непросто положительным, но и превышал истинную вероятность исключенного исхода. Если же все это записать в терминах коэффициентов, то это означает следующее. Для того чтобы 'неполная' вилка давала в среднем (потому что иногда будет проигрывать) выигрыш необходимо, чтобы исходный, заниженный (для неиспользованного Вами исхода) коэффициент, будучи скорректированным к более реальному, чем у конторы значению, тоже давал, вместе с оставшимися коэффициентами, обычную нормальную вилку. В самом деле, допустим, что мы имеем неполную вилку на 2-исхода: L = 1/K1 + 1/K2 < 1, Обозначим как P3 вероятность третьего исхода, который не вошел в вилку. Тогда мы будем с вероятностью (1-P3) выигрывать на двух-исходовой вилке сумму V*(1/L-1) и с вероятностью P3 проигрывать сумму ставки V. То есть в среднем мы будем иметь: (1-P3)* V*(1/L-1) - P3 * V Для того чтобы это выражение было положительным, необходимо чтобы: (1 - P3)*(1/L - 1) - P3 > 0 или 1/L - 1 - P3/L > 0 или L + P3 < 1 или 1/K1 + 1/K2 + 1/K3 < 1 что и требовалось доказать. Таким образом, чтобы гарантировать 'чистоту' неполной вилки, вы должны вычислить минимальный коэффициент 3-го исхода по коэффициентам двух первых исходов как K3 = 1/(1 - 1/K1 - 1/K2), вычислить максимально допустимую вероятность третьего исхода как P3 = 1/K3 и ответить для себя на вопрос: "Считаете ли Вы, что вероятность третьего исхода не выше этой вероятности P3". Если Вы все еще даете ответ ДА на этот вопрос, то можете делать ставку на неполную вилку. Такую ставку также можно назвать статистической вилкой. Но может Вы уже засомневались, увидев реально вычисленную вероятность для реальной ставки? - все зависит от конкретной ситуации. Теперь покажем, что неполная вилка 1-X-2 существует практически ВСЕГДА даже на линиях одной конторы. Действительно, допустим, что вилки нет ни на одной из трех возможных пар коэффициентов, то есть: 1/K1 + 1/K2 >= 1 1/K1 + 1/K3 >= 1 1/K2 + 1/K3 >= 1 Складывая эти три неравенства, получаем: 2*(1/K1 + 1/K2 + 1/K3) >= 3 или 1/K1 + 1/K2 + 1/K3 >= 1.5 Отсюда видно, что если это коэффициенты одной конторы, то маржа ее составляет более 50%, что практически исключено. И, значит, что если маржа конторы на линии 1-X-2 менее 50%, то одна из пар 1-2, 1-X или 2-X обязательно образует неполную вилку. Даже на линиях одной конторы. Для практических целей надо искать неполные вилки с максимальным процентом, комбинируя линии всех контор. До сих пор речь шла о классической вилке 1-X-2, но можно рассмотреть неполные вилки и для более сложных вариантов. Например, F1(0)-X-2. Если неполную вилку сделать путем выкидывания ничьей, то мы получим почти рассмотренный вариант, но не совсем. Он отличается тем, что при ничьей мы кроме проигрыша ставки 2, получаем возврат ставки 1. Это приведет к тому, что условие на 'критическое' значение коэффициента K3 будет слабее. Но вот если считать, что заниженный коэффициент дается на 2, то есть неполная вилка будет, может быть образована событиями F1(0) и X, то получаем интересный вариант. Дело в том, что для событий F1(0) и X вилка существует ВСЕГДА. То есть, всегда можно подобрать V1 и V2, так что мы не проиграем, в случае если реализуется F1(0) или X. В самом деле, условия прибыльности для двух первых исходов: K1*V1 > V KX*VX+V1 > V Если мы возьмем V1 = KX/(K1 - 1)*VX, то оба неравенства удовлетворятся при любых K1 > 1 и KX> 1, то есть всегда. Вы это легко докажете сами. Но не спешите бежать и делать ставки, ведь есть еще и третий исход, 2. Для того, чтобы сравнить Ваши оценки вероятности этого исхода с максимально допустимой вероятностью, которая еще гарантирует прибыльность 'неполной' вилки, нужно вычислять так. Условие вилочности на полную вилку: 1/K1 + 1/K2 + (K1-1)/(KX*K1) = 1 Отсюда 'критическое' P2 = 1/K1 + (K1 - 1)/(KX*K1). Если Вы считаете, что вероятность исхода 2 меньше P2, то можете смело делать ставки на F1(0) и X, разделив суммы ставок в соотношении V1 = KX/(K1 - 1)*VX и какими бы ни были K1 и KX, всегда получите прибыль в среднем.

ОБОРОТ

Общая сумма ставок сделанная игроком за период. При этом, если Вы делаете ставку LAY на бирже ставок, то в обороте нужно учитывать не 'сумму ставки', а сумму Ваших обязательств по данной ставке. Так как сумма ставки в LAY это сумма ставки, которую Вы готовы принять, а не Ваша ставка.

От Вашего оборота зависит сумма Вашей прибыли, если у Вас есть Перевес над конторой, или сумма Вашего проигрыша, если у Вас нет перевеса. Это, конечно, в среднем при долгосрочной игре. Надеясь, что у Вас есть перевес, Вы, исходя из последнего утверждения, можете подумать, что для увеличения общей прибыли нужно увеличивать оборот. И будете правы,: и не правы. Для увеличения прибыли нужно увеличивать оборот, не уменьшая Перевес, то есть качества прогнозов. Или уменьшая его, но в степени, не ухудшающей общий результат.