Сходимость случайной величины по вероятности

Статистическая оценка Θ* называется несмещенной, если ее математичес-кое ожидание равно оцениваемому параметруΘ при любом объеме выборки: М (Θ*) = Θ. Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.Статистическая оценка называется эффективной, если она при заданном объеме выборки п имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при п →∞ стре-мится по вероятности к оцениваемому параметру (если эта оценка несмещенная, то она будет состоятельной, если при п →∞ ее дисперсия стремится к 0).

Убедимся, что представляет собой несмещенную оценку математического ожидания М (Х).Будем рассматривать как случайную величину, а х ₁, х ₂,…, х_п, то есть значения исследуемой случайной величины, составляющие выборку,– как независимые, одинаково распределенные случайные величины Х ₁, Х ₂,…, Х_п, имеющие математическое ожидание а. Из свойств математического ожидания следует, что

23. Точечные оценки генерального среднего. Исправленная дисперсия В отличие от выборочного среднего, выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Можно доказать, что , где D_Г – истинное значение дисперсии генеральной совокупности. Можно предложить другую оценку дисперсии – исправленную дисперсию s ², вычисляемую по формуле . Такая оценка будет являться несмещенной. Ей соответствует исправленное среднее квадратическое отклонение . Оценка некоторого признака называется асимптотически несмещенной, если для выборки х ₁, х ₂, …, х_п , где Х – истинное значение исследуемой величины. 24. Интервальные оценки генерального среднего. Доверительная вероятность и доверительный интервал При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. Поэтому в таком случае лучше пользоваться интервальными оценками, то есть указывать интервал, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение оцениваемого параметра. чем меньше длина этого интервала, тем точнее оценка параметра. Поэтому, если для оценки Θ* некоторого параметра Θ справедливо неравенство | Θ* - Θ | < δ, число δ > 0 характеризует точность оценки(чем меньше δ, тем точнее оценка). Но статистические методы позволяют говорить только о том, что это неравенство выполняется с некоторой вероятностью. Надежностью (доверительной вероятностью)оценки Θ* параметра Θ называется вероятность γ того, что выполняется неравенство | Θ* - Θ | < δ. Если заменить это неравенство двойным неравенством – δ < Θ* - Θ < δ, то получим: p (Θ* - δ < Θ < Θ* + δ) = γ.аким образом, γ есть вероятность того, что Θ попадает в интервал (Θ* - δ, Θ* + δ). Доверительнымназывается интервал, в который попадает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.   25. Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения генеральной совокупности или о параметрах известных распределений. 26. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Корреляционным моментомсистемы двух случайных величин называется второй смешанный центральный момент: K_xy = μ_1,1 = M ((X – M (X))(Y – M (Y))). Для дискретных случайных величин для непрерывных случайных величин Безразмерной характеристикой коррелированности двух случайных величин является коэффи-циент корреляции Корреляционный момент описывает связь между составляющими двумерной случайной вели-чины. Действительно, убедимся, что для независимых Х и Y K_xy = 0. В этом случае f (x,y) = =f ₁(x) f ₂(y), тогда 27. Линейная регрессия. Пусть составляющие Х и Y двумерной случайной величины (Х, Y) зависимы. Будем считать, что одну из них можно приближенно представить как линейную функцию другой, например Y ≈ g (Х) = α + βХ и определим параметры α и β с помощью метода наименьших квадратов. Функция g (Х) = α + βХ называется наилучшим приближением Y в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание М (Y - g (Х))² принимает наименьшее возможное значение; функцию g (Х) называют среднеквадратической регрессией Y на Х. Теорема Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид: где - коэффициент корреляции Х и Y.