Частично рекурсивная функция

Частично рекурсивная функция определяется аналогично примитивно рекурсивной, только к двум операторам суперпозиции и примитивной рекурсии добавляется ещё третий оператор — минимизации аргумента.

· Оператор минимизации аргумента. Пусть — функция от n натуральных переменных. Тогда результатом применения оператора минимума аргумента к функции называется функция от переменной, задаваемая следующим определением:

, при условии

То есть функция возвращает минимальное значение последнего аргумента функции , при котором её значение равно 0.

В терминах императивного программирования — примитивно рекурсивные функции соответствуют программным блокам, в которых используется только арифметические операции, а также условный оператор и оператор арифметического цикла (оператор цикла, в котором число итераций известно на момент начала цикла). Если же программист начинает использовать оператор цикла while, в котором число итераций заранее неизвестно и, в принципе, может быть бесконечным, то он переходит в класс частично рекурсивных функций.

Частично рекурсивные функции для некоторых значений аргумента могут быть не определены, так как оператор минимизации аргумента не всегда корректно определён, так как функция может быть не равной нулю ни при каких значениях аргументов. С точки зрения императивного программирования, результатом частично рекурсивной функции может быть не только число, но и исключение или уход в бесконечный цикл, соответствующие неопределённому значению.

Тезис Чёрча –Класс алгоритмически(машинно) вычислимых частичных функций совподает с классом всех частично рекурсивных функций.

Маши́на Тью́ринга (МТ) — абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятияалгоритма.

Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча — Тьюринга, способна имитировать все другие исполнители (с помощью задания правил перехода), каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.