Функція багатьох змінних. Границя, неперервність. Властивості неперервних функцій

Озн. Сукупність точок n-вимірного простору для яких за допомогою ф-ли введено поняття відстані називається n-вимірним Евклідовим простором і позначається Eⁿ

Озн. Якщо кожній точці М із мн. Е Еⁿ за деяким законом ставиться у відповідність деяке число u то кажуть, що на мн. Е задана ф-ція u=u(M) або u=f(M) або u=u(x₁,…,x_n) і така ф-ція назв. ф-ю від багатьох змінних.

M є Е Еⁿ u є R

Мн. Е – область визначення ф-ції.

Область значень – множина дійсних чисел.

Озн. границі функції (на мові ). Кажуть, що функція має границю число А при , якщо .

n-кратна границя.

Озн. Число А е границею ф-ції f(M) в точці М₀, якщо для будь-яких послідовностей точок М₁,…,М_n … збіжні до М₀ відповідна послідовність f(M₁),…, f(M_n),… значень ф-ції збігається до А.

Теорема про рівність повторних і подвійних границь. Якщо визначена на проміжку , точка скупчення ,і 1). , 2). тоді .

Доведення. Сформулюємо означення подвійної границі , якщо , то .(1)

Вибираємо yтаке, щоб виконувалось і в (1) перейдемо до границі при фіксованому y, , ми маємо, що , це означає, що , а це не що інше як .