Прямая, обратная и противоположные теоремы

Пара теорем, у которых условие одной является заключением второй, а условие второй является заключением первой, называются взаимно обратными друг другу.

Так, теоремы (1) и (2), а также (3) и (4) - взаимно обратные теоремы. При этом, если одну из них называют прямой теоремой, то вторая называется обратной.

Пара теорем, у которых условие и заключение одной является отрицанием соответственно условия и заключения другой, называются взаимно противоположными.

Так, теоремы (1) и (3), а также теоремы (2) и (4) являются взаимно противоположными теоремами.

Например, для теоремы «Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» (1) обратной является теорема «Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны» (2). Для теоремы (1) противоположной является теорема «Если в четырехугольнике диагонали не равны, то четырехугольник не является прямоугольником» (3), а для теоремы (2) противоположной является теорема «Если четырехугольник не является прямоугольником, то его диагонали не равны» (4).

В рассмотренном примере теоремы (1) и (4) являются одновременно ложными, а теоремы (2) и (3) одновременно истинными. Контрпримером к теореме (1) является равнобокая трапеция.Ясно, что прямая и обратная теоремы, вообще говоря, не равносильны, то есть одна из них может быть истинной, а другая ложной. Однако легко показать, что теоремы (1) и (4), а также теоремы (2) и (3) всегда равносильны. Действительно,