Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом

Запишем уравнение прямой линии, пересекающей ось ординат в точке А(0, b), и образующей с осью абсцисс угол j.

Выберем произвольную точку M(x; y) на прямой. Из Δ ABC имеем

.

Откуда далее

.

Если ввести обозначение углового коэффициента прямой

k = tg φ,

получим окончательно уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = k·x + b.

З а м е ч а н и е. Этим уравнением нельзя пользоваться, если прямая перпендикулярна оси абсцисс, так как в этом случае угловой коэффициент такой прямой не определён.

· ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ (СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, МАТРИЦ УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА КОНСТАНТУ)

a. Произведение матрицы А на произвольное число α

b. Сумма (разность) матриц.

c. Произведение матриц.

Произведением матрицы А на произвольное число α называется матрица, элементами которой служат произведения элементов матрицы А на α, т. е.

Суммой (разностью) двух одинаковой размерности m×n матриц А и B называется матрица С, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц А и В, т.е. с_ij=а_ij + b_ij для суммы матриц и с_ij = а_ij - b_ij для разности матриц (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2,…, n), где а_ij — элементы матрицы А, b_ij — элементы матрицы В

Произведением матрицы В размерности k×s на матрицу А размерности s×n называется k×n - матрица С, элементы с_ij (i = 1, 2, … k; j = 1, 2, …, n) которой равны сумме произведений элементов i - ой строки матрицы B на соответствующие элементы j - го столбца матрицы A.

Произведение матриц некоммутативно: А·В ≠ В·А. Например,

Как видно A·B ≠ B·A.

· УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ТОЧКИ

Прежде чем получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости, вспомним некоторые факты.

Одна из аксиом геометрии гласит, что через две несовпадающие точки на плоскости можно провести единственную прямую. Другими словами, задав две точки на плоскости, мы однозначно определяем прямую линию, которая через эти две точки проходит (при необходимости обращайтесь к разделу способы задания прямой на плоскости).

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. В этой системе координат любой прямой линии соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. С этой же прямой неразрывно связан направляющий вектор прямой. Этих знаний вполне достаточно, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Сформулируем условие задачи: составить уравнение прямой a, которая в прямоугольной декартовой системе координат Oxy проходит через две несовпадающие точки и .

Покажем самое простое и универсальное решение этой задачи.

Нам известно, что каноническое уравнение прямой на плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор .

Напишем каноническое уравнение прямой a, проходящей через две заданные точки и .

Очевидно, направляющим вектором прямой a, которая проходит через точки М₁ и М₂, является вектор , он имеет координаты (при необходимости смотрите статьювычисление координат вектора по координатам точек его конца и начала). Таким образом, мы имеем все необходимые данные, чтобы написать каноническое уравнение прямой a – координаты ее направляющего вектора и координаты лежащей на ней точки (и ). Оно имеет вид (или ).

Также мы можем записать параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки и . Они имеют вид или .

Разберем решение примера.

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки .

Решение.

Мы выяснили, что каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами и , имеет вид .

Из условия задачи имеем . Подставим эти данные в уравнение . Получаем .

· МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Метод Гаусса является алгоритмом последовательного исключения. Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырёх уравнений с четырьмя неизвестными

(3.1)

Пусть а₁₁ ¹ 0 (ведущий элемент). Разделив коэффициенты первого уравнения системы (3.1) на а₁₁, получим где

Пользуясь уравнением (3.2) можно исключить из системы (3.1) неизвестную х₁. Для этого достаточно из второго уравнения системы (3.1) вычесть уравнение (3.2), умноженное на а₂₁, из третьего уравнения системы (3.1) вычесть уравнение (3.2), умноженное на а₃₁, и т. д. В результате получим систему из трёх уравнений

(3.3)

где коэффициенты системы вычисляются по формуле

Разделив, далее, коэффициенты первого уравнения системы (3.3) на ведущий элемент , получим уравнение

, (3.4)

где

Исключая теперь х₂ таким же способом, каким было исключено х₁, придём к следующей системе уравнений:

, (3.5)

где . Разделив, далее, коэффициенты первого уравнения системы (3.5) на ведущий элемент , получим уравнение

, (3.6)

где . Исключая теперь х₃ аналогичным путём из системы (3.5) будем иметь:

, (3.7)

где . Из (3.7) найдём

(3.8)

Остальные неизвестные последовательно определяются из уравнений (3.2), (3.4), (3.6):

Таким образом, процесс решения линейной системы по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы (3.2), (3.4), (3.6), (3.8), имеющей треугольную матрицу. Необходимым и достаточным условием применимости метода является неравенство нулю всех «ведущих элементов». Вычисления удобно поместить в таблицу. Приведённая в ней схема называется схемой единственного деления. Процесс нахождения коэффициентов

треугольной системы обычно называется прямым ходом, процесс получения значений неизвестных — обратным ходом.
Прямой ход начинается с выписывания коэффициентов системы, включая свободные члены (раздел А). Последняя строка раздела А схемы представляет собой результат деления первой строки раздела на «ведущий элемент» а ₁₁. Элементы

следующего раздела схемы (раздел А₁) равны соответствующим элементам a_ij предшествующего раздела без произведения их «проекций» на ряды раздела А, содержащие элемент 1 (т. е. первый столбец и первую строку). Последняя строка раздела А₁ находится путём деления первой строки раздела на «ведущий элемент»

Аналогично строятся следующие разделы. Прямой ход заканчивается, когда доходят до раздела, состоящего из одной строки, не считая преобразованной (раздел А₃).

При обратном ходе используются лишь строки разделов А_i, содержащие единицы (отмеченные строки), начиная с последней. Элемент

раздела А₃, стоящий в столбце свободных членов отмеченной строки раздела, даёт значение х ₄. Далее, все остальные неизвестные x_i (i = 3, 2, 1) шаг за шагом находятся с помощью вычитания из свободного члена отмеченной строки суммы произведений её коэффициентов на соответствующие значения ранее найденных неизвестных. Значения неизвестных последовательно выписываются в последний раздел В. Расставленные там единицы помогают находить для х соответствующие коэффициенты в отмеченных строках.

· ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ

Определителем квадратной матрицы называется результат следующих действий:

1. Берется по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы, и они перемножаются.

2. Это произведение умножается на (- 1) ^{i + j}, где i – число инверсий первых индексов, j –число инверсий вторых индексов элементов матрицы в произведении.

3. Эти произведения складываются по всевозможному выбору элементов.

.