Середня арифметична

Середня арифметична - найпоширеніший вид середньої. Середня арифметична проста являє собою частку від ділення суми індивідуальних значень ознаки на їх загальне число. її обчислюють за формулою:

Середня арифметична проста застосовується в тих випадках, коли відомі дані про окремі значення ознаки та їх число в сукупності, тобто розраховується у разі, коли є незгруповані індивідуальні значення ознаки. В статистичній практиці вона застосовується, як правило, для розрахунку середніх рівнів ознак, представлених у вигляді абсолютних показників. Наприклад, якщо є дані про посівну площу овочів у трьох бригадах господарства (га): 47, 65 і 38 і необхідно визначити середній розмір посівної площі, то розрахунок середньої величини необхідно здійснювати за формулою середньої арифметичної простої оскільки значення усереднюваної ознаки зустрічаються однакове число раз (по одному разу):

Отже, середній розмір посівної площі з розрахунку на одну бригаду становить 50 га.

Середня арифметична зважена обчислюється із значень варіюючої ознаки з урахуванням ваг. її застосовують у тих випадках, коли значення ознаки представлені у вигляді варіаційного ряду розподілу, в якому чисельність одиниць по варіантах не однакова, а також при розрахунку середньої із середніх при різному обсязі сукупності. Зважування в даному випадку здійснюється за частотами, які показують скільки разів повторюється та або інша варіанта. Формула середньої арифметичної зваженої має вигляд:

Отже, при обчисленні середньої арифметичної зваженої необхідно всі значення варіант помножити на їхню частоту, одержані добутки підсумувати і цю суму розділити на суму частот, тобто загальний обсяг сукупності.

За аналогічною формулою визначається загальна середня (х"г) з групових середніх (хгр), якщо чисельність одиниць по групах (/Ір) неоднакова:

Розглядаючи формулу середньої арифметичної зваженої, можна помітити, що вона не має принципової відміни від простої середньої арифметичної. Тут підсумування / раз одного і того самого варіанта (х) замінюють множенням його на число повторень (частоту -/).

Порядок розрахунку середньої арифметичної у варіаційному ряду розподілу покажемо на прикладі середнього настригу вовни по групі господарств (табл. 4.1).

Таблиця 4.1. Дані для розрахунку середньої арифметичної зваженої

Оскільки значення усереднюваної ознаки (настриг вовни) повторюється неоднакове число раз, то середній настриг вовни визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:

При розрахунку середньої арифметичної зваженої частотами (вагами) можуть бути використані відносні показники структури, виражені в процентах або коефіцієнтах (частках). Методика розрахунку середньої і кінцевий результат при цьому не зміняться.

Якщо частоти виражені в процентах, то формула середньої арифметичної зваженої може бути записана в такому виді:

де і, = -100 - питома вага кожної частини в загальному обсязі всіх частот (в процентах).

Оскільки для всієї сукупності £ сі' = 100%, то формулу можна записати так:

Якщо частоти виражені в коефіцієнтах (частках), £ 1, тоді формула середньої спрощується:

Порядок і послідовність розрахунку середньої арифметичної для випадків, коли вагами використовуються відносні показники структури, розглянемо на даних того самого прикладу (табл. 4.1).

Якщо вагами взяті частоти, виражені в процентах, то середній настриг вовни на вівцю становитиме:

а якщо частості: х = £, = 0,16 + 0,69 +1,60 +1,10 + 0,42 = 3,97 кг.

Отже, одержані ті самі результати як і при розрахунку середньої арифметичної зваженої звичайним способом.

Для інтервальних варіаційних рядів розподілу, в яких значення ознаки дано в межах "від - до", середню арифметичну зважену знаходять в такій послідовності. Спочатку необхідно інтервальний ряд розподілу перетворити в дискретний. Для цього по кожному інтервалу знаходять його середину (центр). Серединне значення інтервалу звичайно визначають як півсуму його нижньої і верхньої меж. Наприклад, для інтервального ряду розподілу господарств за надоєм молока на корову (ц): 26 - 28, 28 - 30, 30 - 32 і т.д. серединами інтервалів будуть (ц): 27 = (26+28):2; 29 = (28+30):2; 31 = (30+32):2 і т.д.

Якщо є інтервали з нечітко вираженими межами, з так званими "відкритими межами" (перший інтервал "до" і останній - "понад"), то для визначення серединного значення потрібно встановити умовні межі цих інтервалів. Звичайно в цих випадках вирішують так: для першого інтервалу беруть величину другого інтервалу, а для останнього - величину передостаннього інтервалу.

Покажемо перехід від інтервалів з відкритими межами до інтервалів із закритими межами на такому прикладі розподілу господарств за середньодобовим прирістом відгодівельного поголів'я свиней (г):

відкриті інтервали до 350 350 - 400 400 - 450

450 - 500

понад 500

закриті інтервали

300 - 350 350 - 400 400 - 450 450 - 500 500 - 550.

Після того як знайдені середини інтервалів, середню арифметичну зважену обчислюють так, як і в дискретному ряду розподілу: значення варіант множать на частоти і одержану суму добутків ділять на суму частот.

Порядок розрахунку середньої арифметичної в інтервальному ряду розподілу розглянемо на прикладі розподілу 100 господарств за надоєм молока на корову (табл. 3.10). Всі розрахунки зведемо в табл. 4.2.

Таблиця 4.2. Дані для розрахунку середньої арифметичної в інтервальному ряду розподілу

Середній надій на корову знайдемо за середньою арифметичною зваженою:

Обчислення середньої з інтервального ряду розподілу має деякі особливості, пов'язані з визначенням середини інтервалу. Визначення варіанти як півсуми верхньої і нижньої меж виходить з припущення, що індивідуальні значення ознаки всередині інтервалу розподіляються рівномірно і, отже, середні значення інтервалів досить близько примикають до середньої арифметичної в кожній групі. В дійсності це не завжди так, тому середні, обчислені з інтервальних рядів, є приблизними.

Середня гармонічна є оберненою до середньої арифметичної, обчислену з обернених значень усереднюваної ознаки. Залежно від характеру наявного матеріалу її застосовують тоді, коли ваги доводиться не множити, а ділити на варіанти, або, що те саме, множити на обернене їх значення. Таким чином, середня гармонічна розраховується, коли відомі дані про обсяг ознаки (Ш=хф) і індивідуальні значення ознаки (х) і невідомі ваги (ф). Так як обсяги ознак являють собою добуток значень ознаки (х) на частоту ф, то частоту ф визначають якф = Ш: х.

Формули середньої гармонічної простої і зваженої мають вигляд:

Як видно, середня гармонічна є перетвореною формою середньої арифметичної. Замість гармонічної завжди можна розрахувати середню арифметичну, попередньо визначивши ваги окремих значень ознаки. При обчисленні середньої гармонічної вагами є обсяги ознак.

Середня гармонічна проста застосовується у випадках, коли обсяги явищ по кожній ознаці рівні.

Наприклад, три комбайнера працюють на збиранні зернових культур. Перший комбайнер на збирання 1 га протягом 7-годинної зміни затрачав 35 хв, другий - 31 хв, третій - 33 хв. Потрібно визначити середні затрати праці на збирання 1 га зернових культур.

Розрахунок середніх затрат часу на збирання 1 га зернових культур за формулою середньої арифметичної простої був би правильним

тоді, коли б усі комбайнери протягом зміни зібрали по 1 га або однакову кількість гектарів зернових культур. Проте протягом зміни окремими комбайнерами була зібрана різна площа зернових культур.

Неправомірність застосування формули середньої арифметичної пояснюється ще й тим, що показник затрат праці на одиницю робіт (збирання 1 га зернових культур) є оберненим до показника продуктивності праці (збирання зернових культур за одиницю часу).

Середній час, потрібний для збирання 1 га зернових культур по всіх комбайнерах визначимо як відношення затрат часу усіма комбайнерами до загальної кількості зібраних гектарів. У нашому прикладі немає відомостей про кількість фактично зібраних гектарів кожним комбайнером. Однак ці величини можна обчислити за таким співвідношенням:

де весь затрачений час для кожного комбайнера становитиме 420 хв (7год o 60 хв).

Тоді середні затрати часу на збирання 1 га зернових культур можна визначити за формулою:

Розрахунки можна значно спростити, якщо використати формулу середньої гармонічної простої:

Отже, по цій сукупності комбайнерів на збирання 1 га зернових культур у середньому затрачається 32,9 хв.

Порядок розрахунку середньої гармонічної зваженої розглянемо на такому прикладі (табл. 4.3).

Таблиця 4.3. Дані для розрахунку середньої гармонічної зваженої

Оскільки середня урожайність являє собою відношення валового збору до площі посіву, то спочатку визначимо площу посіву картоплі по кожному господарству, а потім середню урожайність:

Відповідно до однієї з властивостей середня гармонічна не зміниться, якщо обсяги явищ, які є вагами окремих варіант, помножити або розділити на яке-небудь довільне число. Це дає змогу при її обчисленні користуватися не абсолютними показниками, а їх питомими вагами. Припустимо, потрібно визначити середню ціну реалізації картоплі за такими даними (табл.4.4).

Таблиця 4.4. Дані для розрахунку середньої ціни реалізації картоплі

У наведеному прикладі відсутні дані про виручку від реалізації окремих сортів картоплі, яка являє собою добуток ціни реалізації 1 ц на кількість реалізованої картоплі. Тому замість обсягів явищ можна використати їх співвідношення, тобто питому вагу окремих сортів картоплі в загальній виручці. Використовуючи дані таблиці, визначимо середню ціну реалізації картоплі:

Середню гармонічну застосовують також для визначення середньої урожайності по групі однорідних культур, якщо відомі валовий збір і урожайність окремих культур, для обчислення середнього процента виконання плану виробництва і реалізації продукції по однорідній сукупності, якщо відомі дані про фактично вироблену або реалізовану продукцію і процент виконання плану по окремих об'єктах і т.д.

Середню геометричну застосовують, коли загальний обсяг явища є не сума, а добуток значень ознаки. Ця середня використовується здебільшого для розрахунку середніх коефіцієнтів (темпів) зростання і приросту при вивченні динаміки явищ (див. розділ 10) і має такий вигляд:

де п - число коефіцієнтів зростання; у і у - початковий і кінцевий рівні динамічного ряду.

Величина середньої геометричної залежить тільки від співвідношення кінцевого і початкового рівнів. Якби не змінювались в цих межах інші рівні, величина середньої не зміниться.

Розглянемо такий приклад. За даними про посівну площу цукрових буряків у господарстві за 5 років знайти середній коефіцієнт зростання площі посіву цукрових буряків за 2005 - 2009 рр. Всі розрахунки зведемо в табл. 4.5.

Таблиця 4.5. Дані для розрахунку середньої геометричної

Середнє значення логарифма коефіцієнта зростання становитиме: 0,1072: 4 = 0,0268. За таблицями антилогарифмів знайдемо середній коефіцієнт зростання посівної площі цукрових буряків: апіії%х = 1,0636, або 106,36%.

Такий саме результат одержимо і за другою формулою:

Отже, середній коефіцієнт зростання посівної площі цукрових буряків у господарстві за 2005 - 2009 рр. становив 1,0636. Інакше кажучи, посівна площа цукрових буряків у господарстві щорічно збільшувалась в середньому на 6,36%.