Основные задачи линейной алгебры

К основным задачам линейной алгебры можно отнести задачи:

-Решения систем линейных алгебраических уравнений.

-Нахождение обратных матриц, а также приведение матриц к каноническому виду (диагональному или к форме Жордана).

-Нахождение собственных значений и собственных функций матриц.

Метод Гаусса. Этот метод иногда называют методом исключения неизвестных. Суть этого метода состоит в том, чтобы сначала из первого уравнения выразить через коэффициенты матрицы, правую часть и , . Подставив это выражение для в остальных уравнениях, можно получить другую систему линейных алгебраических уравнений порядка . Таким образом можно получить одно линейное уравнение относительно , которое решается тривиально. Вычислив через коэффициенты матрицы и правую часть , используя полученные ранее выражения для через , через и и т.д., можно вычислить все , . Условием для выполнения этого метода является возможность осуществлять выражение .

Метод прогонки. Для уравнениях, где матрица является трехдиагональной, существует очень эффективный алгоритм, называемый методом прогонки.

Пусть нам необходимо решить следующее уравнение

(12.2)

Сначала мы определяем прогоночные коэффициенты и согласно следующим рекуррентным соотношениям

После вычисления прогоночных коэффициентов можно рекуррентно вычислить и решения уравнения 12.2

Метод Гаусса—Зейделя является классическим итерационным методом решения системы линейных уравнений.

Возьмём систему: , где

Или

И покажем, как её можно решить с использованием метода Гаусса-Зейделя.

Метод

Чтобы пояснить суть метода, перепишем задачу в виде:

Здесь в -м уравнении мы перенесли в правую часть все члены, содержащие , для . Эта запись может быть представлена:

где в принятых обозначениях означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы , а все остальные нули; тогда как матрицы и содержат верхнюю и нижнюю треугольные части , на главной диагонали которых нули.

Итерационный процесс в методе Гаусса-Зейделя строится по формуле после выбора соответствующего начального приближения .

Метод Гаусса-Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея модификации состоит в том, что новые значения используются здесь сразу же по мере получения, в то время как в методе Якоби они не используются до следующей итерации:

где

Таким образом, i-тая компонента -го приближения вычисляется по формуле: