Модель фирмы

Предположим, что производитель работает в стабильной обстановке и его поведение определяется стремлением максимизации прибыли или минимизации затрат фирм при достижении определенного уровня прибыли. Пусть производственная фирма выпускает один вид продукции либо набор видов продукции со стабильной пропорцией по объему выпуска.

Обозначим объем выпуска продукции фирмой в натурально-вещественной форме через X.

Для выпуска такого объема продукции были использованы производственные ресурсы: труд (L), основные фонды (K), предметы труда (M), и т.д. Каждый из этих ресурсов имеет несколько разновидностей, в целом можем ввести вектор ресурсов, использованных в производстве .

Технологию производства можно заключить в производственной функции (ПФ), которая определит связь между задействованными производственными ресурсами и объемом выпуска:

.

Рассмотрим первую задачу производителя, которую сформулируем следующим образом. Пусть известны цены ресурсов , цена продукции – р. Тогда доход фирмы определяется соотношением:

(1)

Решая задачу максимизации дохода (1), мы в качестве решения получаем вектор , который максимизирует прибыль фирмы при заданных цене продукции p и цене факторов . Эта вектор-функция называется функцией спроса на факторы.

Для координат характерны свойства: возрастает по ; однородна степени 0 по .

Перекрестные ценовые эффекты симметричны:

. (2)

Для самого значения целевой функции в оптимальной точке введем определение:

(3)

которое назовем функцией прибыли, которая обладает такими свойствами: возрастает по p; однородна степени 1 по ; выпукла по ; непрерывна по (p,w) для w>0, p>0.

Следует отметить, что задача (3) является задачей нелинейного программирования с условиями не отрицательности координат вектора x. Необходимыми условиями ее решения является условия Куна-Таккера:

(4)

Если в оптимальном решении использованы все виды ресурсов, т.е. , то условия (4.) принимают вид:

(5)

или

,

т.е. в оптимальной точке стоимость предельного ресурса должна равняться его цене.

Вторая задача производителя может быть сформулирована как задача минимизации затрат для достижения заданного уровня объема выпуска, т.е. следующим образом:

(6)

Решение этой задачи, т.е. искомый вектор называется условнойфункцией спроса на факторы. Эта функция обладает следующими свойствами: убывает по ; однородна степени 0 по w.

Значение целевой функции в оптимальной точке в задаче (6), которое, естественно, является функцией параметров (w,y) называется функцией затрат С(w,y):

. (7)

Функция затрат обладает свойствами: возрастает по каждой цене ; однородна степени 1 по w; вогнута по w; непрерывна по w для w>0.

Для оптимальной точки равенство (7.) можно записать:

. (8)

Продифференцировав равенство (8) по получим соотношение

, (9)

которое называется леммой Шеппарда, которая утверждает, что частная производная функции затрат по цене I-го ресурса равна соответствующей координате условной функции спроса.

Если еще раз продифференцировать (9) по получим равенство

, (10)

из которого, в силу непрерывности по w, следует, что матрица замены

симметрична, т.е.

(11)

и положительно полуопределена.

Далее можем рассмотреть функцию прибыли в виде превышения выручки над минимизированными в (7) затратами:

, (12)

где - результат задачи (7), а y – объем выпуска продукции.

Из (12) следует, что ее решение – это выпуск, максимизирующий прибыль, который называется функцией предложения .

К основным свойствам функции предложения можно отнести следующее: возрастает по p; однородна степени 0 по .

Из формулы для можем в оптимальной точке записать:

, (13)

откуда следует, что

. (14)

Одновременно, из (3) после дифференцирования по получим равенство:

, (15)

которая носит название Хотеллинга.