Сызықты теңдеулер жүйесін матрицалық түрде жазу және оны матрицалық әдіспен шешу

Сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер ережесімен шешу

1. Жүйені Крамер әдісімен шығар. Келесідей белгілеулер енгізейік:

a 1

b 1

c 1

h 1

b 1

c 1

a 1

h 1

c 1

a 1

b 1

h 1

a 2

b 2

c 2

, x

h 2

b 2

c 2

, y

a 2

h 2

c 2

, z

a 2

b 2

h 2

.

a 3

b 3

c 3

h 3

b 3

c 3

a 3

h 3

c 3

a 3

b 3

h 3

∆ анықтауышы (1) жүйенің анықтауышы деп аталады. ∆_х, ∆_у, ∆_z анықтауыштары ∆ жүйенің анықтауышынан сәйкес бірінші, екінші, үшінші бағандарын бос мүше элементтерімен ауыстыру арқылы алынған. Екі жағдай қарастырайық.

1 жағдай. 0.Бұл жағдайда(1)жүйенің шешуі бар жәнеол біреу ғана, және келесі формуламен анықталады:

x

x

,

y

y

,

z

z

(2)

Сызықты теңдеулер жүйесін матрицалық түрде жазу және оны матрицалық әдіспен шешу.

2. (1) жүйені матрицалық әдіспен шешуді қарастырайық.

Айталық (1) жүйе берілсін. Белгілеулер енгіземіз

a b c

x

h

A

(6)

a

b

c

, X

y, H

h

b 3

a 3

c 3

z

h 3

Матрицаларды көбейту ережелерін қолданып (1) жүйені

матрицалық түрде жазып аламыз.

A X H

(7)

Айталық А матрицасының анықтауышы нольден өзгеше болсын. Кері матрица ұғымын енгіземіз. А матрицасына кері

матрица	A 1(кері матрицаның белгіленуі)деп,	келесі шартты
қанағаттандыратын матрицаны айтады
A 1	A A A 1 E	(8)

мұндағы Е – бірлік матрица.

		A 1	A 2	A 3
A 1	B 1	B 2	B 3		(9)
		C 2	C 3
		C 1
мұндағы Ai, Bi, Ci - ai, bi, ci	(i 1,2,3) элементтерінің сәйкес
алгебралық толықтауыштары.	(7)	теңдікті сол жақтан A 1 -ге
көбейтіп, алатынымыз
A 1 A X A 1 H			(10)
A 1 A E болғандықтан,ал Е·Х=Х,онда(10)шығатын теңдік
X A 1 H				(11)
(1) жүйенің шешімі.

18.п- белгісізі бар м сызықты теңдеулер жүйесі,Гаус теориясы.

А және А векторы матрицаларының ранглерін Гаус әдісімен анықтау үшін А векторы кеңейтілген матрицасын элементар түрлендірулер арқылы трапеция тәріздер матрицаға келтіреді

1.r(Aвекторы)>r(A).Бұл жағдайда Кронекер-Капелли теоремасы теңдеулер жүйесі үйлесімсіз.

2.r(Aвекторы)=r(A)=r.Бұл жағдайда сол теорема бойынша жүйе үйлесімді.Сонымен бірге:

а. Егер r=n болса,яғни матрицаның ранглері белгісіздер санына тең болса онда жүйе шешімі жалғыз болады.

б. Егер r<n болса,онда теңдеулер жүйесінің параметрлері тәуелді ақырсыз көп шешімі болады.

Мысалы. Теңдеулер жүйесін зерттеп үйлесімді болған жағдайда оның шешімін табу керке.

~ ~ ~

Мұндағы r(Aвекторы)=r(A)=3.Бұл 2а.жағдайы.Теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімі бар соңғы матрицадан теңдеулер жүйесі қалыпты түрде жазып,оның шешімін табамыз.

19.Біртекті сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі фундаментальді шешімдер жүйесі

Анықтама.Бос мүшелерінің барлығы нөлге тең жүйені біртекті,ал бос мүшелерінің ең болмағанда біреуі нөл емес жүйені біртекті емес деп атайды.

Біртекті жүйені келесі түрде жазуға болады

немесе матрицалық түрде АХ=0

Мұндағы 0 баған.

Біртекті жүйе үйлесімді өйткені оның түріндегі шешімі бар бұл тривиал шешімі деп аталады.Крамер ережесі матрицалық әдісті немесе Крамер ережесін біртекті жүйені шешуге қолданудың реті жоқ.Өйткені егер m=n,detA≠0 болса,онда r(A)=R(A vector)=n болады да жүйенің жалгыз тривиал шешімі бар,ал егер detA=0 болса,онда бұл әдістерді тікелей қолдана алмаймыз.Сондықтан мұндай жағдайда біртекті жүйелерді шешудің Гаус схемасын қолданамыз.

20. -үшөлшемді кеңестік векторлар және оларға қолданылатын сызықтық амалдар векторлардың сызықты тәуелділігі және тәуелсіздігі,базис.

Анықтама 1. Бағытталған кесінді вектор деп аталалды.

Вектор AB немесеa символымен белгіленеді. А – вектордың басы, В – вектордың ұшы.

Басы мен ұшы беттесетін векторлар нольдік векторлар деп

аталады және O немесе жай ғана О деп белгіленеді. Вектордың басы мен ұшы арасындағы қашықтық оның

ұзындығы деп аталады және AB немесе | a | деп белгіленеді.

a және b векторлары коллинеарлы деп аталады,егер оларбір түзу бойында немесе параллель түзулерде жатса.

Коллинеарлы векторлар бағыттас() немесе қарама-қарсы

() бағытта болуы мүмкін.

Анықтама 2. aжәнеbвекторларыa bтең депаталады, егер олар:

1) олар коллинеарлы және бірдей бағытталған () және

2) олардың ұзындықтары тең, яғни | a | | b | болса.

Егер a және b векторлары үшін a b және | a | | b | шарттары орындалса, онда олар қарама-қарсы векторлар деп аталады және a b теңдігі орындалады. Егер AB a болса,

онда оған қарама-қарсы вектор BA.

Векторлардың теңдігінің анықтамасынан, векторларды ұзындығы мен бағытын өзгертпей параллель көшіруге болатындығы шығады.