Лекция № 14 Числовая последовательность. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Основные теоремы о пределе последовательности

Числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью. В общем виде числовую последовательность (или просто последовательность) обозначают символом или .

Для последовательностей важны два способа задания:

1. Аналитический, т.е. с помощью формулы -го члена вида .

2. Рекуррентный: задают один или несколько первых членов последовательности и формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предыдущим членам.

Числовые последовательности как функции могут быть ограниченными сверху (снизу), неограниченными, монотонными и немонотонными. Но не имеет смысла ставить вопрос о четности или нечетности последовательности, так как множество не является симметричным.

Числовую последовательность называют сходящейся к числу , если для любого числа > 0 найдется номер N такой что при всех выполняется неравенство < . Число при этом называют пределом последовательности () и обозначают символом . В символах математической логики определение того, что запишется так: .

Последовательность называется расходящейся к плюс (минус) бесконечности, если для любого числа Е найдется такой номер N, что при всех выполняется неравенство . Обозначение: .

К основным теоремам о пределе последовательности относят следующие теоремы.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 3. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема 4. Если последовательность сходится к числу , а

последовательность сходится к числу и при этом ,

то .

Теорема 5. Пусть даны три последовательности , и такие, что

. Если , то .

Последовательность , где некоторое число, называют постоянной. Все ее члены равны . Очевидно, что такая последовательность является ограниченной и сходящейся. Ее пределом является число : .