Теорема о проецировании прямого угла

В общем случае при проецировании прямого угла, образованного пересекающимися или скрещивающимися прямыми, он проецируется на плоскость проекций с искажением.

Теорема о проецировании прямого угла выделяет частный, но важный на практике случай, когда прямой угол проецируется на плоскость проекций без искажения: прямой угол проецируется на плоскость проекций в прямой угол, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей.

Действительно, пусть сторона АВ прямого угла АВС параллельна плоскости П₁. Требуется доказать, что проекция его: угол А₁В₁С₁ = 90⁰ (Рисунок 3.4)

Прямая АВ перпендикулярна плоскости α, т.к. АВ перпендикулярна двум прямым этой плоскости ВС и ВВ₁, проходящим через точку В.

Прямая АВ и ее проекция А₁В₁ – две параллельные прямые, а потому А₁В₁ также перпендикулярна плоскости α. Следовательно, А₁В₁ перпендикулярна В₁С₁.

Докажем теперь, что если ортогональная проекция угла АВС на некоторую плоскость П₁ является прямым углом и одна из сторон угла параллельна той же плоскости, то угол АВС – прямой (Рисунок 3.4).

Прямая А₁В₁ перпендикулярна плоскости α, т.к. образует прямые углы с В₁С₁ по условию и с ВВ₁ по построению. Но А₁В₁ параллельна АВ. Значит, и прямая АВ ┴α.

Следовательно, угол между АВ и ВС – прямой.

В

А 90⁰

α С

В₁

С₁

А₁ 90⁰

П₁

а₂ В₂

с₂ d₂

f₂

90⁰

E₂

f₁ E₁

В₁ d₁

а₁ с₁

90⁰

Контрольные вопросы по теме: «Линии. Комплексные чертежи прямых линий»

1. Классификация линий.

2. Как определить положение прямой в пространстве?

3. Какое положение могут занимать прямые в пространстве?

4. Какие прямые называют прямыми общего положения?

5. Какие прямые называют прямыми частного положения?

6. Какие прямые называют горизонтально, фронтально и профильно-проецирующими прямыми?

7. Назовите возможные относительные положения двух прямых линий.

8. Какие прямые называют параллельными, пересекающимися и скрещивающимися прямыми?

9. Какой метод применяется для определения видимости элементов? В чем его сущность?

10. Сформулируйте и докажите теорему о прямом угле.