Нахождение уравнения плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые

Прежде чем приступать к нахождению уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые, напомним одну теорему: в трехмерном пространстве через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Это утверждение является следствием из двух аксиом геометрии:

· через три различные и не лежащие на одной прямой точки проходит единственная плоскость;

· если две несовпадающие точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Таким образом, конкретную плоскость в трехмерном пространстве можно задать, указав две пересекающиеся прямые, лежащие в этой плоскости.

Теперь покажем, что плоскость, проходящая через две заданные пересекающиеся прямые, совпадает с плоскостью, проходящей через три различные точки, две из которых лежат на одной из заданных прямых, а третья – на другой прямой.

Пусть заданные прямые a и b пересекаются в точке М. Отметим на прямой a две различные точки М₁ и М₂ (одна из них может совпадать с точкой M), а на прямой b точку М₃, отличную от точки М. Покажем, что плоскость М₁М₂М₃ есть плоскость, проходящая через заданные пересекающиеся прямые a и b.

Так как в плоскости М₁М₂М₃ лежат две точки прямой a (точки М₁ и М₂), то из озвученной в начале этого пункта аксиомы следует, что все точки прямой a лежат в плоскости М₁М₂М₃, в частности, точка М. Тогда в плоскости М₁М₂М₃ лежат все точки прямой b, так как две несовпадающие точки прямой b (точки М и М₃) лежат в указанной плоскости. Следовательно, плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые a и b, и плоскость, проходящая через три точки М₁, М₂ и М₂, совпадают.

Итак, поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, заданы две пересекающиеся прямые a и b, и требуется написать уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые a и b.

Сведем решение этой задачи к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три точки. Для этого нужно определить координаты двух различных точек M₁ и M₂, лежащих на одной из заданных пересекающихся прямых, и координаты точки M₃, лежащей на другой прямой и не являющейся точкой пересечения заданных прямых. Для нахождения координат точек М₁, М₂ и М₃ все средства хороши. Например, можно получить параметрические уравнения прямой a в пространстве вида . Из них видны координаты точки М₁ (они получаются при ), а координаты точки М₂ можно вычислить, придав параметру любое ненулевое действительное значение (к примеру, ). После этого можно получить параметрические уравнения прямой b и при некотором значении параметра вычислить координаты точки М₃, не забыв удостовериться, что она не является точкой пересечения заданных прямых (что она не лежит на прямой a).

Будем считать, что координаты точек М₁, М₂ и М₃ найдены. После этого мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три точки и в виде . Вычислив определитель матицы вида , мы получим общее уравнение плоскости М₁М₂М₃, которое и будет уравнением плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые a и b.