Тема 1. Потоки платежей

Проведение практически любой финансовой операции порождает движение денежных средств. Такое движение может характеризоваться возникновением отдельных платежей, или множеством выплат и поступлений, распределенных во времени.

В финансовой практике зачастую контракты предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени (регулярные выплаты). Например, погашение долгосрочного кредита, вместе с начисленными на него процентами; периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.); дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам; выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр.

Поток платежей (cash flow – ) представляет собой ряд последовательных во времени выплат и поступлений , , …, .

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т.п.

Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

- член ренты () – величина каждого отдельного платежа;

- период ренты () – временной интервал между членами ренты;

- срок ренты () – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;

- процентная ставка () – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента;

- наращенная сумма () – сумма долга на какой-либо момент в будущем;

- современная стоимость () – современная величина потока платежей.

При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:

а) наращенная сумма. Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем, тогда величину последующих взносов в течение k лет при начислении на них процентов по ставке n можно определить по формуле:

, (1)

б) известна современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:

. (2)

Как известно, погашение займа осуществляется за счет платежей, состоящих из части основного долга (суммы кредита) и процентов. Но рассчитываться размер этих платежей может по-разному.

В финансовой практике наиболее часто встречаются так называемые простые или обыкновенные аннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и т.д.).

Простой аннуитет обладает двумя важными свойствами:

- все его элементы равны между собой;

- отрезки между выплатой/поступлением сумм одинаковы.

Если рассматривать кредитные отношения, то за аннуитетный платеж будем считать равный по сумме ежемесячный платеж по кредиту, который включает в себя сумму начисленных процентов за кредит и сумму основного долга.

Расчёт аннуитетного платежа можно производить по формуле (2), в этом случае вводится обозначение:

– размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту;

– сумма кредита;

– процентная ставка в долях за период (месяц);

– количество месяцев, на которые берётся кредит.

Другим не менее распространенным способом погашения ссуды сегодня являются дифференцированные платежи, размер которых каждый месяц будет разным и постепенно уменьшающимся. Основной долг при этом делится на количество месяцев действия кредита и уплачивается равными долями. Проценты начисляются на остаток задолженности, за счет чего их сумма всегда уменьшается.

Таким образом, основное отличие между аннуитетом и дифференцированными взносами заключается в том, изменяется ли сумма ежемесячного платежа по кредиту или остается постоянной на протяжении всего срока займа.

В случае дифференцированных платежей величина погашения долга определяется следующим образом:

, (3)

где – величина погашения основной суммы долга;

– первоначальная сумма кредита;

– количество периодов (месяцев), на которые берётся кредит;

Проценты начисляются на уменьшаемую сумму основного долга:

, (4)

где – величина погашения процентов по кредиту за -ый месяц;

– остаток ссудной задолженности (суммы обязательства) на начало -го месяца;

– процентная ставка в долях за период (месяц), равная 1/12 от годовой процентной ставки, установленной на сумму кредита;

.

Тогда величина дифференцированного платежа по кредиту по каждому месяцу определяется как сумма уплачиваемых процентов и сумма погашения основного долга:

, (5)

где – размер дифференцированного платежа по кредиту за -ый месяц, .

В финансовых операциях возможны ситуации, когда выплаты по кредиту производятся в сумме, большей установленного аннуитета. В таких случаях говорят о частичном досрочном погашении кредита. При этом кредитный договор с банком позволяет уменьшить либо размер ежемесячного аннуитетного платежа, либо срок кредитования.

Рассмотрим оба варианта развития событий в случае частичного досрочного погашения кредита.

1. Уменьшение размера ежемесячного аннуитетного платежа (без изменения срока кредитования).

Для определения новой суммы аннуитета достаточно подставить в формулу аннуитета новое значение суммы кредита (остаток после погашения) и срок, оставшийся до погашения кредита.

2. Уменьшение срока кредитования (без изменения размера ежемесячного аннуитетного платежа).

Новый срок кредитования (с момента частичного досрочного погашения кредита) можно определить по формуле:

, (6)

где – новый срок кредитования (с момента частичного досрочного погашения кредита);

– остаток ссудной задолженности (суммы кредита) после частичного досрочного погашения в -ый месяц;

– процентная ставка в долях за период (месяц), равная 1/12 от годовой процентной ставки, установленной на сумму кредита;

– размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту.

Замечание. Значение всегда округляется в сторону увеличения, т.е. если , то принимаем .