Элементы комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания)

При решении задач теории вероятности часто приходится из заданного множества выбирать подмножества элементов, обладающих заданными свойствами. Как правило, требуется найти количество элементов в такой выборке или число способов выбора. Эти задачи называются комбинаторными, т.к. речь в них идет про те или иные комбинации объектов. Упорядоченным называются множества, в которых указан порядок следования элементов. Упорядоченные множества считаются равными, если они состоят из одинаковых элементов, следующих в одинаковом порядке. Если порядок следования элементов не важен, то множество считается неупорядоченным – состоящее из одинаковых элементов и считается равным, независимо от порядка следования этих элементов.

Основные правила комбинаторики:

1. Правило произведения: Пусть элемент а можно выбрать n способами, элемент а2 – n2 способами, аs(s - внизу) – ns способами, тогда количество n наборов из S элементов а1, а2, а3,.., аs вычисляются по формуле: n=n1*n2*…*ns

2. Правило: Пусть А={а1, …, аn} - множество из элементов к£n. Размещением из n по к называется любой упорядоченный набор из к элементов множества А. Всего таких выборок: .

Размещение из n элементов по n – перестановка. Количество: Pn = n! = 1*2*…*n

Сочетанием из n по к называется любой неупорядоченный набор из к элементов множества А. Количество:

2. Случайные события. Вероятность: статистическое определение.

Опыт (испытание) – осуществление заданного комплекса условий (G)

Исход испытания - событие. (А, В, С,..)

Случайным называют событие А, которое в результате опыта может произойти, а может и нет. Пусть в связи с некоторым опытом G, нас интересует наступление некоторого события А. Повторим опыт n раз. Пусть при этом, событие А произошло m раз. m£n; m – частота (частость) события А. Есть события для которых относительные частоты обладают определенного рода устойчивостью: при большом количестве испытаний n они стабилизируются около некоторого постоянного не случайного числа n = . Р - вероятность события А. При этом справедливо неравенство: 0£р£1.