Двоичные числа и операции над ними

ЧАСТЬ III. ЦИФРОВЫЕ УСТРОЙСТВА

Основы теории цифровых устройств

Двоичные числа и операции над ними

В цифровой технике наибольшее применение получил двоичный (бинарный) код, в котором n – разрядное число представляется следующим образом

, (12.1)

где аргумент может иметь два значения: 0 и 1.

Аргумент называется двоичным разрядом (битом информации). В табл. 12.1 показано соответствие десятичных и двоичных чисел, полученных по выражению (12.1).

Таблица 12.1. Соответствие десятичных и двоичных чисел

Десятичное число

Двоичное число

В цифровых устройствах логические состояния (переменные) представляются двумя уровнями напряжения (потенциалов): высоким, близким к напряжению источника питания, и низким, близким к нулю (потенциалу общей шины). При потенциальном способе задания логических переменных различают положительную и отрицательную логику. При положительной логике высокий уровень напряжения соответствует логической 1, а низкий – логическому 0, а при отрицательной логике наоборот. Соглашение положительной логики , имеет преимущественное применение.

Двоичный код называют еще кодом 8421 по весовым коэффициентам (весам) первых четырёх разрядов. Весовые коэффициенты кода 8421 можно представить как длительность периодов следования прямоугольных импульсов. Из рис. 12.1 видно, что длительность периода, соответствующего последующему разряду в два раза больше длительности периода сигнала, соответствующего предыдущему разряду.

Сложение двоичных чисел производится так же, как и в десятичной системе счисления по следующим правилам: 0 + 0 = 0; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10.

Пример: 1 0 0 1

+ 0 0 1 1_

1 1 0 0.

Нетрудно заметить, что в табл. 12.1 каждое последующее двоичное число получается путём прибавления единицы к предыдущему двоичному числу. Двоичные числа, представленные в табл. 12.1 характеризуют прямой код. Кроме этого, применяются и другие коды, с помощью которых упрощаются арифметические действия. К ним относятся, в частности, обратный и дополнительный коды.

Двоичное число в обратном коде отличается от числа в прямом коде тем, что в каждом разряде имеет 0 вместо 1 и наоборот, т.е. происходит инверсия прямого кода. Дополнительный код числа образуется из обратного кода путем добавления 1 к младшему разряду. Так, десятичному числу 9 в прямом двоичном коде соответствует число 1001, в обратном коде число 0110, а в дополнительном 0111.

Рис. 12.1. Соответствие импульсного сигнала коду 8421:

- первый разряд, - второй разряд, - третий разряд, - четвертый разряд

Операцию вычитания двоичных чисел преобразуют в операцию сложения уменьшаемого с дополнительным кодом вычитаемого числа согласно следующему выражению:

, (12.2)

где Х 1, Х 2 – двоичные числа в прямом коде; – обратный код числа Х 2.

При выполнении вычислений по выражению (12.2) может получиться разность в виде двоичного числа с большим количеством разрядов, чем у уменьшаемого. Поэтому в разности оставляют количество разрядов, равное количеству разрядов уменьшаемого, путем отбрасывания старшего разряда.

Пример. Вычислим разность двух десятичных чисел 13 – 3 = 10, тогда Х 1 = 1101; Х 2 = 0011, а .

Х 3 = Х 1 - Х 2 = Х 1 + + 1 = 1101 + 1100 + 0001 = 11010.

Отбрасывая старший пятый разряд, получаем Х 3 = 1010, что соответствует десятичному числу 10.

В двоично-десятичном коде цифры каждого разряда десятичного числа представляются четырёхразрядным двоичным кодом (тетрадой). Так, число в двоично-десятичном коде имеет вид

010101110011.

т е т р а д ы

Основное достоинство двоично-десятичного кода состоит в простоте взаимного перевода десятичных и двоичных чисел. Главные недостатки этого кода – громоздкость и избыточность, так как шесть двоичных комбинаций для чисел от 10 до 15 при этом не используются.