Учебный год. Лектор Хаметов В.М. 8 страница. Доказательство. Пусть -измеримая случайная величина

Доказательство. Пусть -измеримая случайная величина. Тогда Р - п. н. справедливо равенство

. (21)

Действительно. Пусть - любая измеримая ограниченная случайная величина. Тогда, с одной стороны, имеем

(22)

С другой стороны

(23)

Из (23) и (22) в силу произвольности получаем (21). Далее, в силу (21), имеем Р - п. н.

Значит является мартингал-разностью относительно меры . Доказательство закончено.

38. Однородная Марковская цепь. Классификация состояний однородной марковской цепи (теоремы 69-72)

Пусть на стохастическом базисе задана марковская случайная последовательность со значениями в и переходной вероятностью .

Определение. Пусть Е - не более чем счетное множество (т. е. либо конечное, либо счетное), тогда марковская последовательность называется марковской цепью.

Обозначим через - одноточечное множество. Пусть B любое подмножество множества Е. Очевидно, что . Пусть - переходная вероятность. Очевидно, что .

Обозначим - вероятность перехода последовательностью из состояния в момент времени s в одноточечное множество в момент времени .

Определение. Марковская цепь называется однородной, если , т. е. переходная вероятность зависит только от разности . Если , то - переходная вероятность за один шаг, которую мы будем обозначать через для однородных марковский цепей.

Везде ниже будем рассматривать только однородные марковские цепи.

Займемся теперь классификацией состояний.

Определение. Состояние достижимо из состояния за n шагов (обозначаем ), если .

Теорема 69. Если состояние достижимо из , a достижимо из , то достижимо из .

Доказательство. Так как , то и , то , то в силу соотношения Чепмена - Колмогорова, имеем . Доказательство закончено.

Определение. Состояния и называются сообщающимися, если и (обозначается ).

Очевидно, что: 1) ; 2) если , то ; 3) если и , то .

Определение. Говорят, что состояния и принадлежат классу , если существуют моменты времени и такие, что .

Замечание. Класс - это множество состояний марковской цепи, являющихся сообщающимися. Через обозначим класс состояний, которые сообщаются с состоянием .

Теорема 70. Пусть два класса и , причем и . Тогда .

Доказательство теоремы 70. Пусть , следовательно существуют , такие, что . Из соотношения Чепмена - Колмогорова следует . Аналогично , следовательно . Поэтому . Аналогично устанавливается . Следовательно . Доказательство закончено.

Замечания. 1) Теорема 70 полезна тем, что позволяет разбивать множество состояний на классы , причем .

2) Если - счетно, то классов не более, чем счетно.

Определение. Состояние называется существенным, если для .

Определение. Однородная марковская цепь называется неприводимой, если она состоит из одного класса сообщающихся состояний.

Определение. Состояние называется несущественным, если "выйдя" из него нельзя "вернутся" в него с положительной вероятностью за конечное число шагов.

Из этих определений очевидным образом следуют утверждения.

Теорема 71. Пусть - существенное состояние, тогда из него достижимы все существенные состояния.

Теорема 72. Класс сообщающихся состояний состоит либо из существенных, либо из несущественных состояний.

Определение. Состояние называется циклическим, а называется периодом марковской цепи если:

1) , где ( кратно , а );

2) - наибольшее число, на которое делится (НОД - наибольший общий делитель).

Если - НОД, то ясно, что - период марковской цепи. Если , то такая марковская цепь называется апериодической.

Пусть - фиксированное состояние. Введем подклассы:

……………………………………………

Теорема 73. Если марковская цепь - неприводимая, то

!!!!!!!!!!!!!!!!

39. Эргодические цепи маркова. Достаточное условие существование эргодической цепи маркова (теорема 74).

Определение. Однородная марковская последовательность называется эргодической, если существует предел , который не зависит от состояния и выполняются условия:

1) , 2)

Замечание. Эргодические процессы, в отличие от обычных марковских процессов, "не помнят" точку старта.

Теорема 74 (достаточные условия существования эргодического распределения). Пусть - переходная вероятность за один шаг. Пусть существует такое, что . Тогда существует вектор , компоненты которого и , причем для

Доказательство. Из соотношения Чепмена-Колмогорова, имеем

.

Обозначим: Покажем, что при . Действительно
,т. е. .

Аналогично устанавливается неравенство .

Из соотношения Чепмена - Колмогорова следует, что

Таким образом для и , имеем отсюда следует неравенство

. (27)

Аналогичным образом легко показать

(28)

Вычтем из (27) (28), имеем . Выбирая кратное (например ), получаем, что . Отсюда следует при . Доказательство закончено.

40. Определение случайного процесса. Прогрессивно измеримый процесс. Достаточные условия существования прогрессивно измеримого процесса (теорема 76)

Пусть - измеримое пространство.

Определение. Пусть , а - семейство на -алгебре на . Семейства назовем потоком -алгебр или фильтрацией, если для при и .

Замечание. Фильтрация описывает историю некоторого явления, и называют -алгеброй событий предшествующих моменту времени t.

Определение. Будем говорить, что поток -алгебр непрерывен справа, если .

Определение. Пусть имеется два измеримых пространства и . Случайным процессом с непрерывным временем, определенным на со значениями в называется семейство случайных элементов со значениями в E. Пространство будем называть пространством элементарных исходов, а E - пространством состояний.

Для значение называется состоянием случайного процесса в момент времени . Для фиксированного множество называется траекторией или реализацией случайного процесса.

Определение. Случайный процесс называется согласованным с фильтрацией , если при каждом он -измерим, для него будем использовать обозначение .

Определение. - вероятностное пространство с фильтрацией называется стохастическим базисом, если - непрерывно справа и для него будем использовать обозначение .

Соглашение: будем полагать везде ниже, что стохастический базис полный, т.е. -алгебра F и фильтрация (для ) пополнены множествами нулевой меры P.

Определение. Случайный процесс называется измеримым, если отображение измеримо относительно -алгебры .

Определение. Случайный процесс называется прогрессивно измеримым, если отображение измеримо относительно .

Замечание. Отметим, что всякий прогрессивно измеримый процесс является согласованным. Обратное утверждение неверно. Однако верно следующее утверждение.

Теорема 76. Пусть - согласованный процесс и Е - польское пространство. Тогда - прогрессивно измерим.

Доказательство. Для рассмотрим диадическое разбиение отрезка , т. е. разбиение на равных интервала, где . Для , положим . Очевидно, что - измеримое отображение из относительно -алгебры . Устремляя получаем, что отображение является измеримым относительно -алгебры при каждом ._.

41. Модификация случайного процесса. Стохастически непрерывный случайный процесс. Случайный процесс непрерывный в среднем порядка p. Докажите, что если случайный процесс непрерывен в среднем порядка p, то он стохастически непрерывен (теорема 77).

Определение. Пусть и - два случайных процесса, определенных на . Процесс называется модификацией процесса , если для каждого
Р - п. н.

Определение. Случайный процесс называется стохастически непрерывным справа (слева) в точке , если для любого ().

Случайный процесс называется стохастически непрерывным справа (слева), если он стохастически непрерывен справа (слева) в любой точке .

Определение. Если , то будем говорить, что процесс принадлежит классу .

Определение. Процесс непрерывен справа (слева) в среднем порядка в точке t, если . Процесс непрерывен справа (слева) в среднем порядка p, если он непрерывен справа (слева) в среднем порядка p, в каждой точке .

Теорема 77. Если процесс - непрерывен справа (слева) в точке t в среднем порядка p, то он стохастически непрерывен справа (слева) в точке t.

Доказательство следует из неравенства Чебышева. Действительно пусть любое , имеем . Переходя к пределу при получаем утверждение теоремы.

42. Пуассоновский случайный процесс (определение) и его свойства.

Пример (пуассоновский процесс). Пусть имеется последовательность независимых в совокупности, одинаково распределенных случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение с параметром . Пусть . Положим . Очевидно, что Р - п. н. для . Пусть . Очевидно, что . Таким образом определенный процесс называется пуассоновским. Из приведенных выше построений следует, что непрерывен справа.