Асимптоты графика функции. Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении формы гиперболы.

Напомним, что асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 156).

Асимптоты могут быть вертикальными, на клонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции

, или

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 156 видно, что расстояние точки М(х;у) кривой от прямой х=а равно d=׀ х-а׀. Если х→а, то d→0. Согласно определению асимптоты, прямая х=а является асимптотой кривой у=ƒ(х). Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция ƒ (х) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Например, кривая имеет вертикальную асимптоту (см. рис. 157) х =-1, так как

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

y=kx+b. (25.5)

Найдем k и b.

Пусть М(х;у) — произвольная точка кривой у=ƒ(х) (см. рис. 158). По формуле расстояния от точки до прямой

находим расстояние от точки М до прямой (25.5):

Условие d→0 будет выполняться лишь тогда, когда числитель дроби стремится к нулю, т.е.

Отсюда следует, что kx-у+b=α, где α=α(х) бесконечно малая: α→0 при х→ ∞. Разделив обе части равенства у=b+kx-α на х и перейдя к пределу при х→ ∞, получаем:

Так как b/х→0 и α/х→0, то

Из условия (25.6) находим b:

Итак, если существуетнаклонная асимптота у=kx+b, то k и b находятся по формулам (25.7) и (25.8).

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой.

Если хотя бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует или равен бесконечности, то кривая у=ƒ(х) наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если k=0, то b=limƒ(х) при х →∞. Поэтому у=b — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Асимптоты графика функции у=ƒ(х) при х→+ ∞ и х→- ∞ могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда х→+∞ и когда х→- ∞.

<< Пример 25.13

Найти асимптоты графика функции у=хе^х.

Решение: Так как то график функции при х→+ ∞ наклонной асимптоты не имеет. При х→- ∞ справедливы соотношения

Следовательно, при х→- ∞ график имеет горизонтальную асимптоту у=0.