Постановка каждой задачи оптимизации (ЗО) включает в себя два

Основные понятия МО, постановка задачи оптимизации. Место оптимизации в САПР. Применение методов оптимизации.

Оптимизация – процесс выбора наилучшего или оптимального решения с технической или математической точки зрения.

Важность и ценность теории оптимизации заключается в том, что она дает адекватные понятийные рамки для анализа и решения многочисленных задач:

− в исследовании операций: оптимизация технико-экономическихсистем, транспортные задачи, управление запасами и т.д.;

− в численном анализе: аппроксимация, регрессия, решение линейных и нелинейных систем, численные методы, включая методы конечныхэлементов и т.д.;

− в автоматике: распознавание образов, оптимальное управление,фильтрация, управление производством, робототехника и т.д.;

− в математической экономике: решение больших макроэкономических моделей, моделей предпринимательства, теория принятия решенийи теория игр.

Постановка каждой задачи оптимизации (ЗО) включает в себя два

объекта:

множество допустимых решений и целевую функцию (функционал), которую следует минимизировать или максимизировать на указанноммножестве.

Математическое программирование в самом общем виде можно определить как задачу оптимизации с ограничениями в пространстве Rn:

(2.1)

Вектор x∈D имеет компоненты x 1, x 2, … xn, которые являются неизвестными задачи (2.1).

Функция f (x) называется целевой функцией (ЦФ) (функцией качества, критерием оптимальности), а множество условий gk (x), lj (x) и x ∈ D – ограничениями задачи.

Решением задачи (2.1) называют любой вектор x, удовлетворяющийограничениям.

Оптимальным решением или глобальным экстремумом задачи(2.1) называют вектор x *, минимизирующий значение f (x) на множествевсех решений: f (x *) ≤ f (x) для всех x ∈ D.

Задача максимизации функции сводится к задаче поиска минимумафункции F = - f (x).

Точность. Характеристикой точности полученного решения может

служить величина абсолютного отклонения значения минимизируемой

функции, достигнутого в точке xn ∈ D, от точного значения ее минимума

на множестве D:

Ясно, что чем меньше неотрицательная величина δ, тем точнее полученноерешение. Недостатком использования абсолютной погрешности являетсято обстоятельство, что она меняется при умножении ЦФ на положительную константу α: f (x) → α f (x).

Целесообразнее использовать следующую оценку точности:

где f (x*) – либо точное значение минимума ЦФ, либо полученное "точным" алгоритмом. Алгоритм называется "ε–приближенным", если выполняется неравенство c ≤ ε.