Законы идеального газа

Идеальный газ – это модель разреженного газа, в которой пренебрегается взаимодействием между молекулами. Силы взаимодействия между молекулами довольно сложны. На очень малых расстояниях, когда молекулы вплотную подлетают друг к другу, между ними действуют большие по величине силы отталкивания. На больших или промежуточных расстояниях между молекулами действуют сравнительно слабые силы притяжения. Если расстояния между молекулами в среднем велики, что наблюдается в достаточно разреженном газе, то взаимодействие проявляется в виде относительно редких соударений молекул друг с другом, когда они подлетают вплотную. В идеальном газе взаимодействием молекул вообще пренебрегают.

Границы применимости модели идеального газа зависят от рассматриваемой задачи. Если необходимо установить связь между давлением, объемом и температурой, то газ с хорошей точностью можно считать идеальным до давлений в несколько десятков атмосфер. Если изучается фазовый переход типа испарения или конденсации или рассматривается процесс установления равновесия в газе, то модель идеального газа нельзя применять даже при давлениях в несколько миллиметров ртутного столба.

Давление газа на стенку сосуда является следствием хаотических ударов молекул о стенку, вследствие их большой частоты действие этих ударов воспринимается нашими органами чувств или приборами как непрерывная сила, действующая на стенку сосуда и создающая давление.

Пусть одна молекула находится в сосуде, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 1). Рассмотрим, например, удары этой молекулы о правую стенку сосуда, перпендикулярную оси Х. Считаем удары молекулы о стенки абсолютно упругими, тогда угол отражения молекулы от стенки равен углу падения, а величина скорости в результате удара не изменяется. В нашем случае при ударе проекция скорости молекулы на ось У не изменяется, а проекция скорости на ось Х меняет знак. Таким образом, проекция импульса изменяется при ударе на величину, равную , знак «-» означает, что проекция конечной скорости отрицательна, а проекция начальной – положительна.

Определим число ударов молекулы о данную стенку за 1 секунду. Величина проекции скорости не изменяется при ударе о любую стенку, т.е. можно сказать, что движение молекулы вдоль оси Х равномерное. За 1 секунду она пролетает расстояние, равное проекции скорости . От удара до следующего удара об эту же стенку молекула пролетает вдоль оси Х расстояние, равное удвоенной длине сосуда 2L. Поэтому число ударов молекулы о выбранную стенку равно . Согласно 2-му закону Ньютона средняя сила равна изменению импульса тела за единицу времени. Если при каждом ударе о стенку частица изменяет импульс на величину , а число ударов за единицу времени равно , то средняя сила, действующая со стороны стенки на молекулу (равная по величине силе, действующей на стенку со стороны молекулы), равна , а среднее давление молекулы на стенку равно , где V – объем сосуда.

Если бы все молекулы имели одинаковую скорость, то общее давление получалось бы просто умножением этой величины на число частиц N, т.е. . Но поскольку молекулы газа имеют разные скорости, то в этой формуле будет стоять среднее значение квадрата скорости, тогда формула примет вид: .

Квадрат модуля скорости равен сумме квадратов ее проекций, это имеет место и для их средних значений: . Вследствие хаотичности теплового движения средние значения всех квадратов проекций скорости одинаковы, т.к. нет преимущественного движения молекул в каком-либо направлении. Поэтому , и тогда формула для давления газа примет вид: . Если ввести кинетическую энергию молекулы , то получим , где - средняя кинетическая энергия молекулы.

Согласно Больцману средняя кинетическая энергия молекулы пропорциональна абсолютной температуре , и тогда давление идеального газа равно или

. (1)

Если ввести концентрацию частиц , то формула перепишется так:

. (2)

Число частиц можно представить в виде произведения числа молей на число частиц в моле, равное числу Авогадро , а произведение . Тогда (1) запишется в виде:

. (3)

Уравнения (1), (2) и (3) – это разные формы записи уравнения состояния идеального газа, они связывают давление, объем и температуру газа. Эти уравнения применимы как к чистым газам, так и к смесям газов, в последнем случае под N, n и ν следует понимать полное число молекул всех сортов, суммарную концентрацию или полное число молей в смеси. Для чистого газа число молей , где М – масса газа, а μ – масса одного моля (молярная масса). Тогда уравнение (3) примет вид:

. (4)

Уравнение состояния в этой форме называют уравнением Клапейрона–Менделеева.

Рассмотрим частные газовые законы. При постоянной температуре и массе из (4) следует, что , т.е. при постоянной температуре и массе газа его давление обратно пропорционально объему. Этот закон называется законом Бойля и Мариотта, а процесс, при котором температура постоянна, называется изотермическим.

Для изобарного процесса, происходящего при постоянном давлении, из (4) следует, что , т.е. объем пропорционален абсолютной температуре. Этот закон называют законом Гей-Люссака.

Для изохорного процесса, происходящего при постоянном объеме, из (4) следует, что , т.е. давление пропорционально абсолютной температуре. Этот закон называют законом Шарля.

Эти три газовых закона, таким образом, являются частными случаями уравнения состояния идеального газа. Исторически они сначала были открыты экспериментально, и лишь значительно позднее получены теоретически, исходя из молекулярных представлений.

Тела, физические свойства которых во всех направле­ниях одинаковы, называются изотропными (от греч. isos — равный, одинаковый и tropos — направление).

Поликристаллические и аморфные тела изотропны. Как вы знаете, поликристаллические тела состоят из кристалли­тов. Они анизотропны. В поликристаллических телах крис­таллиты ориентированы хаотично, дальний порядок не распространяется на весь поликристалл, и поэтому не наблю­дается анизотропия. Свойства отдельных кристаллитов усред­няются по всем направлениям и оказываются одинаковыми. Поэтому поликристаллические тела обычно изотропны. Но при некоторых видах обработки (волочении, прокатке, ковке и др.) может произойти преимущественная ориентация кристаллитов в определенном направлении. Тогда поликристаллическое тело может оказаться анизотропным, так как свойства отдельных кристаллитов не усредняются по всем направлениям. Так, при прокатке листовой стали зерна металла ориентируются в направлении прокатки, в результа­те чего возникает анизотропия механических свойств.

Анизотропия наблюдается также и в некристаллических ве­ществах; древесине, стекле и др. Например, при закалке стек­ла можно получить анизотропию, которая приводит к упроч­нению материала.