Случайная величина. Функция распределения случайной величины. Плотность распределения. Примеры вероятностных пространств и случайных величин

Определение: Пусть (W, f, P) - вероятностное пространство и (Х, В) - некоторое измеримое пространство. f | В - измеримая функция x: W®Х называется случайным элементом.

В частном случае, когда X=R¹, B= B (R¹) функцию x называют случайной величиной.

Если X = Rⁿ, B = B (Rⁿ) функцию x называют случайной вектором.

Пусть (W, f, P) - вероятностное пространство. Пусть x - случайная величина, определённая на этом пространстве.

Определение:

1) F_x(x) = P{x £ x}, xÎR называется функцией распределения случайной величины x.

2) Q_x(B) = P{xÎ B}, BÎ B (R) называется распределением случайной величины x.

3) Если существует борелевская функция f_x(x): P{xÎ B}= , " BÎ B (R), то f_x(x) называется плотностью распределения случайной величины x.

4) Если множеством значений случайной величины x является не более чем счётное

{x₁, …}Ì R, то говорят, что x - дискретная случайная величина, а набор вероятностей р(к) = Р{x = х_к} к = 1, 2, …называется распределением дискретной случайной величины:

р(к) ³ 0 и р_к = Р{x = х_к}= (в силу аддитивности) = Р( {x = х_к}) = Р(W) = 1.

Свойства функции распределения:

1) Если -¥ < a < b < +¥ |Þ F_x(a) £ F_x(b). P{a < x £ b}= F_x(b) - F_x(a).

Доказательство:

Рассмотрим {x £ a}, {x £ b} {x £ a}Ì{x £ b}, {a < x £ b}={x £ b}\{x £ a}.

2) F_x(x) = 1, F_x(x) = 0.

Доказательство:

В силу монотонности F_x достаточно показать, что F_x(n) = 1, F_x(-n) = 0.

1⁰ Рассмотрим события {x £ n}Ì{x £ n+1}- последовательность монотонно возрастает |Þ

{x £ n}= {x £ n} = {x < ¥} Р{|x| = ¥}= 0.

F_x(n) = Р{x £ n}= Р{x < ¥}= 1.

2⁰ {x £ -n}É{x £ -(n+1)}- монотонно убывает |Þ {x £ -n}= {x £ -n} = {x = -¥}

F_x(-n) = Р{x £ -n}= Р{x = -¥}= 0. (что и требовалось доказать)

3) Функция F_x(x) непрерывна справа в каждой точке, т.е. если x < x_n+1 < x_n; x_n = x, то

F_x(x_n) = F_x(x).

Доказательство:

Рассмотрим {x £ x_n}É{x £ x_n+1}- последовательность событий |Þ последовательность монотонно убывает и {x £ x_n}= {x £ x_n}= {x £ x}.

F_x(x_n) = Р{x £ x_n}= P{x £ x}.

4) F_x(y) = P{x < x}.

Надо доказать, что если x_n < x_n+1 < x и x_n = x, то F_x(x_n) = P{x < x}.

Доказательство:

{x £ x_n}Ì{x £ x_n+1}.

{x £ x_n}= {x £ x_n} = {x < x}.

F_x(x_n) = Р{x £ x_n}= (по теоремы о непрерывности меры) = Р{x < x}.

{x £ x_n}= {x £ x} {x £ x_n} = {x £ x}

] ] ] ] ] |

x x_n x_n ® x

5) P{x = x} = F_x(x) - F_x(x-).

Доказательство: {x = x}={x £ x}\{x < x}. Значит Р{x = x}=Р{x £ x}- Р{x < x}.

6) Пусть x - дискретная случайная величина принимающая значения {x₁, x₂, …} с вероятностями {р(1), р(2), …}.

F_x(x) = P{x £ x}= P({x £ x}ÇW) = (где W = {x = х_к}) = Р( {x £ x, x = х_к}) =

= Р{x £ x, x = х_к}= P(k).

Определение: Функция F(x), xÎR называется функцией распределения, если она обладает свойствами:

1) F(x) монотонно не убывает,

2) F(x) непрерывна справа,

3) F(x) = 1, F(x) = 0.

Теорема: 1) Если Q - распределение на (R, B (R)), то F(x) = Q(]-¥, x]) является функцией распределения, xÎR.

2) Если F(x) - функция распределения, то $ распределение Q на (R, B (R)): F(x) = Q(]-¥, x])

" xÎR.

Доказательство:

1) а) a < b Þ Q(]-¥, a]) £ Q(]-¥, b]) в силу монотонности меры.

b) если x < x_n+1 < x_n: lim x_n = x, то Q(]-¥, x_n]) = Q(]-¥, x]).

c) Q(]-¥, n]) = Q(R) = 1, Q(]-¥, -n]) = Q(Æ) = 0.

2) Если F(x) - функция распределения Þ $! Q(·) на (R, B (R)): Q(]a, b]) = F(b) - F(a).

Q(]a, b]) = Q(]-¥, b]) = F(b).

Q(R) = Q(]-¥, b]) = 1. (что и требовалось доказать)

Следствие 1: Пусть F - функция распределения. Тогда $ (W, f, P) - вероятностное пространство и x определённая на этом пространстве: F(x) = P{x £ x}.

Доказательство:

Положим W = R, f = B (R), P - распределение соответствующее F. Определим

x(w): x(w) = w. P{x £ x} = P{w: x(w) £ x} = P(]-¥, x]) = F(x).

Определение. Cлучайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция такая, что для любого борелевского множества B имеет место равенство:

Функцию называют плотностью распределения случайной величины ξ.

Замечание. Интеграл выше есть интеграл Лебега. При этом площадь над множеством B, имеющим нулевую меру Лебега, равна нулю. Заметим, что любая функция, отличающаяся от функции лишь в конечном или счётном числе точек (или на множестве нулевой меры Лебега), будет являться плотностью того же распределения, так как интеграл не изменится от изменения подынтегральной функции на множестве меры нуль.

Теорема. Плотность распределения обладает свойствами:

(f1) для любого x; (f2) .

Доказательство. (f1) выполнено по определению плотности, (f2) также следует из определения: