ВОПРОС 21 (1)

2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Сведение поверхностного интеграла 1-го рода к двойному интегралу.

Поверхностный интеграл первого рода является таким же обобщением двойного интеграла, как криволинейный интеграл первого рода по отношению к определённому интегралу.

Пусть S - поверхность в трёхмерном пространстве Oxyz, а F(x,y,z) - непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS₁, ΔS₂,...., ΔS_i,..., ΔS_n, не имеющих общих внутренних точек (рис. 3.8). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквами S_i(i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков - через λ На каждом "элементарном" участке ΔS_i произвольным образом выберем по точке M_i(x_i,y_i,z_i) (i = 1,...,n) и составим сумму

которая называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S.

Определение 3.3. Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔS_i и от выбора точек M_i ΔS_i(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается

Поверхностный интеграл обладает всеми обычными свойствами интеграла, включая теорему о среднем значении.

Приведём простейшие достаточные условия существования поверхностного интеграла первого рода.

Теорема 3.4. Если поверхность S задана уравнением z = f(x,y), где функция f(x,y) и её частные производные f'_x(x,y) и f'_y(x,y) непрерывны в замкнутой области τ (τ - есть область, в которую проектируется поверхность S на координатную плоскость Oху), а функция F(x,y,z) непрерывна на S, то интеграл

существует.

К использованию этих условий, равно как и условий, получающихся из них перестановкой переменных x, y, z сводится большинство практически встречающихся случаев.

Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам.

Пусть выполнены все условия приведенной выше теоремы, тогда, обозначив проекцию ΔS_i (и площадь проекции) на плоскость Oxy через Δτ_i, по теореме о среднем значении будем иметь:

где (x_i, y_i) Δτ_i, а, следовательно

при данном специфическом выборе точек M_i. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции

по плоской области τ. Переходя к пределу, получаем:

Если проектировать поверхность S не на координатную плоскость Oxy, а на координатную плоскость Oxz или Oyz, то можно записать формулы для вычисления поверхностного интеграла аналогично формуле (3.14).

Приложения поверхностного интеграла различны. Так, например:
1) если положить F(x,y,z)=1, то интеграл (3.12) будет численно равен площади поверхности S.
2) если же функцию F(x,y,z) интерпретировать как плотность вещества, распределенного по поверхности S, то интеграл (3.12) численно равен массе материальной поверхности S.

Пример 3.9. Вычислить

где S - поверхность конуса

при 1 ≤ z ≤ 2 (рис. 3.9).