Вопрос 1. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®a, если

Функция f (x) называется бесконечно малой при х ® a, если .

БМ функции принято обозначать греческими буквами:a(х), b(х) и т.д, так и будем делать. Перевод определения на язык e-d:

a(х) - БМ при х ® a Û {"e>0 $d: 0<| x - a |<dÞ|a(х)|<e}.

Если при х®¥, lim f(х)=0 то f(x) бесконечно малая при х®¥, если "e>0:$d(e)>0: "х: 0<|х|>d Þ |f(х)|<e

Произведение БМ на ограниченную функцию - БМ функция.

Док-во. Пусть a(х) - БМ при х ® a, f (x) ограничена в окрестности точки a. Требуется доказать, что a(х) f (x) - БМ при х ® a. $С>0: | f (x) |<C; "e>0 $d: 0<| x-a |<dÞ|a(х)|<e/CÞ

| a(х) f (x)|<e, т.е. a(х) f (x) действительно БМ при х ® a.

Алгебраическая сумма конечного числа БМ функций - БМ функция.

Док-во. Пусть a(х), b(х) - БМ при х ® a. Требуется доказать, что a(х) ±b(х) - БМ при х ® a. "e>0 $d₁: 0<| x-a |<d₁Þ|a(х)|<e/2; $d₂: 0<| x-a |<d₂Þ|b(х)|<e/2. Если взять 0<| x-a |<min{d₂,d₁}=d, то | a(х) ±b(х)|£ | a(х) |+ | b(х)|< e/2+e/2=e, т.е. a(х) ±b(х) действительно БМ при х ® a.

Следствие: Линейная комбинация БМ функций - БМ функция.