Сравнение бесконечно малых функций

Пусть α(x) и β(x) две бесконечно малые функции при x → x ₀ и β(x) отлична от нуля в некоторой окрестности точки х ₀ (за исключением, быть может, самой точки х ₀). Если

= 0,

то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x). В этом случае пишут α(x) = o(β(x)) и говорят α(x) есть о − малое от β(x).
Если

= А ≠ 0 (A - число),

то бесконечно малые α(x) и β(x) имеют одинаковый поряок малости. В этом случае пишут α(x) = O(β(x)), (α(x) есть O - большое от β(x).
Если

= ∞,

то α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x).
Если

= 1,

то α(x) и β(x) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x) ~ β(x).
В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило: если

,

то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x).

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

1. Так как , то в точке х = 0 имеем sin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство sin x = x + o(x).

2. Так как , то в точке х = 0 имеем tg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство tg x = x + o(x).

3. Так как , то в точке х = 0 имеем arcsin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arcsin x = x + o(x).

4. Так как , то в точке х = 0 имеем arctg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arctg x = x + o(x).

5. Так как

, то , и в этом случае имеет место равенство

6. В точке х = 0 многочлен эквивалентен своему моному младшей степени

.

Поэтому при х = 0 имеем .
Использование теоремы о замене функции на эквивалентную под знаком предела упрощает вычисление предела. Например,

.

7. Так как , то ln (1 + x) ~ x,

и в этом случае имеет место равенство ln (1 + x) = x + o(x).

8. Так как , то
.

9. Так как , то e^x ~ 1 + x,и в этом случае имеет место равенство

e^x ~ 1 + x + o(x).

10. В случае натурального k имеем

поэтому для натурального k имеем , и в этом случае имеет место равенство

(1 + x) ^k = 1 + k·x + o(x)

11. Так как

, то a^x ~ 1 + x ·ln a, и в этом случае имеет место равенство a^x ~ 1 + x ·ln a + o(x)

12. Так как

, то , и в этом случае имеет место равенство

Вопрос