Чисел. Вещественная и мнимая части комплексного числа. Мнимая единица. Комплексно-сопряженное число. Определение равенства комплексных чисел. Примеры

Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: При этом число a называется вещественной частью числа z (a = Re z), а b - мнимой частью (b = Im z).Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным. Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.

A(a;b)

B

A

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их вещественные и мнимые части: Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю вещественная и мнимая части. Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, вещественные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел. Если любое вещественное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно вещественная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться вещественной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются вещественные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Мнимая единица — число, квадрат которого равен отрицательной единице. Обозначается как латинская i или j. Она позволяет расширить поле действительных чисел до поля комплексных чисел.

Степени i: