Приближенное вычисление определенного интеграла

Существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы.

1) Подынтегральная функция по формуле Тейлора нужно разложить в степенной заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции. Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x₀, x₁, …, x_m, то по формуле Тейлора заменяем функцию f(x) многочленом Р(х) степени m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

2) Формула прямоугольников. Разобьём отрезок интегрирования на n равных частей длиной .

Найдём y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …., y_n = f(x_n) и составим суммы: y₀Dx + y₁Dx + … + y_n-1Dx и y₁Dx + y₂Dx + … + y_nDx.

Тогда или .

Любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется формулой прямоугольников.

3) Формула трапеций. Это более точная формула, чем формула прямоугольников.

у   .   a x1 x2 b x

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

Вопросы для повторения

1. Как связаны между собой операции интегрирования и дифференцирования?

2. Перечислите основные правила интегрирования.

3. Запишите таблицу интегралов для основных элементарных функций.

4. Какие методы интегрирования вы знаете?

5. Чем отличается определенный интеграл от неопределённого?

6. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

7. В чем заключается геометрический смысл определённого интеграла?