Производные высших порядков. Пусть ф-ия y=f(x), xÎ[a;b] дифференцируема на [a;b], производная в общем случае сама зависит от х

Пусть ф-ия y=f(x), xÎ[a;b] дифференцируема на [a;b], производная в общем случае сама зависит от х, поэтому можно говорить о производной полученной ф-ии. Производная от производной первого порядка наз. производной второго порядка и обозначается y’’ или y’’(x), таким образом y’’=[y’(x)]. Производная от производной второго порядка наз. производной третьего порядка. Вообще производной n-ого порядка наз. производная от производной n–1-ого порядка, y⁽ⁿ⁾=[y^(n-1)(x)]’. Производные четвёртого, пятого и т.д. порядков обозначаются римскими цифрами. (U±V)⁽ⁿ⁾=U⁽ⁿ⁾±V⁽ⁿ⁾; (UV)⁽ⁿ⁾=U⁽ⁿ⁾V+nU^(n-1)V’+((n(n-1))/1×2)U^(n-2)V’’+…+UV⁽ⁿ⁾ - Формула Лейбница.

№74. Производные неявных и параметрических ф-ций.

Неявн. Пусть знач.x и y связаны некоторым ур-ем F(x;y)=0(1)Если ф-ция y=f(x)определена на интервале(ab),такова что ур-е(1)при подстановке в него вместо y выраж.f(x)обращается в ождество относительно x,то ф-ция y=f(x)есть неявная ф-ция,определёная ур-ем(1) Но не всякую неявно заданную ф-цию можно представить явно. Например y-x-siny=0

не всякую явно заданную ф-цию можно представить неявно При вычисл.знач. произв.неявной ф-ции при данном знач.ар-та,нужно знать ещё и знач.ф-ции y,при данном знач.аргумента Парам. {x=α(t); y=λ(t)(1)T1≤t≤T2 Каждому значению t соответствуют значения x и y.Если рассматривать x и y как координаты точки на плоскости XOY,то каждому значению t будет соответствовать определённая точка на плоскости.Когда t изменяется от T1 до Т2,то эта точка на пл-ти описывает некоторую кривую.Ур-я(1)называются параметр.ур-ями этой кривой,t параметром.А способ задания кривой ур-ями(1)называется параметрическим. Пусть ф-ция x=α(t)имеет обратную t=Ф(x),тогда y явл.сложной ф-цией от x.y=α[Ф(х)]Таким образом ур-я (1)определяют у как ф-цию от х, и говорят что эта ф-ция у(х)задана параметр. Найдём произв.ф-ции заданой ур-ями (1).Предположим,что α(t),λ(t)имеют произв.,кроме того ф-ция х=λ(t),имеет обратную t=Ф(х),которая также имеет производную,тогда ф-цию у=f(x)можно рассматр. Как сложную ф-цию у=λ[Ф(х)],t=Ф(х)-промежуточный аргумент y'(x)=y’(t) *t’(x)по правилу дифф. Обратной ф-ции. y’(x)=y’(t)/x’(t) или y’(x)=λ’(t)/α’(t).

№75. Дифференциал ф-ции, его геометрический смысл.

Пусть ф-ция y=f(x)дифф.на отр.ab,существует f’(x)=lim(∆xà0)∆y/∆x => ∆y/∆x=f’(x)+α,где αà0. ∆y=f’(x)∆x+α∆x (1)Т.к. в общем случае f’(x)≠0,то при постоянном х и переменном ∆х→0,первое слагаемое в рав-ве(1)есть б.м.в.,того же порядка что ∆х.Авторое слагаемое-б.м.в. более высокого порядка чем ∆х lim(∆x→0)α∆x/∆x=0. Таким образом приращение ф-ции ∆у состоит из двух слагаемых из которых 1-ое –главная часть приращения относительно ∆х f’(x)∆x-называют дифференциалом ф-ции и обозначают dy или df(x) dy= f’(x)∆x По опр. Полагают,что дифф. Переменного dx=∆x Это опр. Оправдано,т.к.если y=х,то dy=dx=∆x dx=∆x dy=f’(x)dx,отсюда f’(x)=dy/dx.Т.е. произв. можно представить как отношение дифференциала ф-ции к дифф. арг-та Из (1)=> ∆y=dy+α∆x Т.е. приращение ф-ции отлич.от диф. На б.м.в.более высокого порядка чем ∆х α∆х-б.м.в.более высокого порядка,чем dy.Поэтомув приближённых вычислениях пользуются равенством ∆y≈dy f(x+∆x)≈f(x)+f’(x)∆x-формула для приближ.вычислений.Правила относящиеся к производным сохр. и для дифференциалов Пример y=tg²x dy=2tgx*1/cos²x*dx

Геометр.смысл.дифференциала Рассмотрим y=f(x)и соотв. ей кривую (рисунок) NT=MNtgα=∆xf’(x)=dy таким образом, дифф.ф-ции y=f(x) соответств.данным значениям х и ∆х равен приращению ординаты касательной к гр-ку ф-ции f(x) в точке х.