Пространственные кривые

Пространственные кривые ли­нии могут иметь самую разнообразную форму. Они могут быть заданы анали­тически. Кривые случайного вида зада­ются графически. Для анализа про­странственной кривой необходимо уста­новить самые общие ее свойства, кото­рые изучаются по ее проекциям. Для задания на чертеже пространственной кривой линии и точек, принадлежащих ей, достаточно двух ее проекций — горизонтальной и фронтальной. Однако более глубокие ло­кальные свойства пространственной кривой в окрестности любой ее точки исследуются с помощью проекций на гра­нях так называемого сопровождающего трехгранника, который неизменно свя­зан с движущейся по кривой точкой.

На рис. 81, а каждая грань трехгран­ника пространственной кривой е распо­лагается параллельно плоскостям проекций Н, V и W, что способствует боль­шей наглядности изображения про­странственной кривой.

Допустим, что в точке А пространст­венной кривой существует касательная t. Через касательную можно провести мно­жество плоскостей касательных к кривой в точке А. Из всего множества касатель­ных плоскостей можно выделить плоско­сть, которая расположена ближе всех других плоскостей к кривой в точке А.

Этой плоскости дают следующее бо­лее строгое определение: соприкасающейся плоскостью называют предель­ное положение плоскости, проходящей через три смежные и бесконечно сбли­жающиеся точки кривой, одной из ко­торых является данная точка.

Проведем через касательную t со­прикасающуюся плоскость К трех­гранника. Вторая плоскость, проходя­щая через точку А и перпендикулярная касательной, называется нормальной плоскостью N.

Две эти плоскости пересекутся no-прямой п, которая называется нормалью. На ней находится центр кривиз­ны соприкасающейся окружности, ко­торая определяет кривизну пространст­венной кривой в точке А.

Третьей плоскостью S трехгранни­ка является спрямляющая плоскость. Линия пересечения п_b спрямляющей плоскости с нормальной называется би­нормалью.

Три взаимно пересекающиеся пря­мые — касательная t, нормаль п и би­нормаль п_b — образуют прямоугольную систему координат. Каждая пара этих прямых определяет три плоскости со­провождающего трехгранника кривой.

Локальные свойства пространст­венной кривой в окрестности точки А исследуются с помощью проекций на гранях трехгранника, что равносильно проецированию на плоскости Н, V и W. Точка А проецируется на плоскости Н обыкновенной точкой, на плоскость V — точкой перегиба, а на плоскость W — точкой с ребром возврата первого рода. На рис. 81,6 приведен эпюр проекций пространственной кривой.

Проекции пространственных кри­вых. Наибольшее применение в практи­ке архитектурного проектирования имеют закономерные пространствен­ные кривые, в частности винтовые ли­нии. Винтовая линия образуется двой­ным движением точки — поступатель­ным и вращательным.

На рис. 82 приведено построение проекций цилиндрической винтовой линии, или гелисы, которая представля­ет собой траекторию точки, вращаю­щейся вокруг некоторой прямой и со­вершающей одновременно равномер­ное движение вдоль прямой. Фронталь­ная проекция цилиндрической винто­вой линии представляет собой синусои­ду. Смещение точки вдоль образующей за один оборот называется шагом h вин­товой линии. При развертывании цилин­дрической поверхности в плоскость ци­линдрическая винтовая линия изобра­зится прямой линией. Угол φ, составлен­ный касательной к винтовой линии с пло­скостью, перпендикулярной оси, называ­ется углом подъема винтовой линии.

В архитектурной практике цилинд­рические винтовые линии применяются для образования контуров каркаса и по­верхностей винтовых лестниц (рис. 83— арх. Ф. Шехтель, интерьер особ­няка Дорожинской, 1901 г.), винтовых пандусов для въезда автомашин в мно­гоэтажных гаражах, для устройства развязок в двух уровнях на пересечении магистралей и т. п.

На рис. 84, а дано построение проек­ций конической винтовой линии, кото­рая представляет собой траекторию точки, равномерно перемещающейся по образующей прямого кругового конуса и в то же время равномерно вращаю­щейся вместе с образующей вокруг оси. Горизонтальная проекция конической винтовой линии представляет собой спираль Архимеда.

Проекции каждой точки конической винтовой линии определяются пересече­нием соответствующих образующих с проекциями параллелей конуса, плоско­сти которых смещены по вертикали на расстояние, в данном примере равное h/8.

На рис. 84, б приведен проект памятника III Интернационалу, созданный в 1919 г. художником В. Татлиным. Ме­таллическая стержневая наклонная башня высотой 400 м сужается кверху. Динамику всей композиции придают элементы двух конических винтовых линий.