Теорема (разложение определителя по строке или столбцу)

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} +... + a_{i n} A_{i n} (i = )

или j- го столбца

d = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} +... + a_{n j} A_{n j} (j = ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Доказательство.

Убедимся в справедливости теоремы на примере разложения определителя 3-го порядка, например, по 1-й строке. По теореме это разложение будет иметь вид: D= = а₁₁А₁₁ + а₁₂А₁₂ + а₁₃А₁₃ = {с учетом определения A_ij получим}= =а₁₁(-1)²М₁₁ + а₁₂(-1)³М₁₂ + а₁₃(-1)⁴М₁₃ = а₁₁ - а₁₂ + а₁₃ = а₁₁(а₂₂×а₃₃ - а₂₃×а₃₂) - а₁₂(а₂₁×а₃₃ - а₂₃×а₃₁) + а₁₃(а₂₁×а₃₂ - а₂₂×а₃₁) = =а₁₁×а₂₂×а₃₃ + а₁₂×а₂₃×а₃₁ + а₁₃×а₂₁×а₃₂ - а₁₃×а₂₂×а₃₁ - а₁₂×а₂₁×а₃₃ - а₁₁×а₂₃×а₃₂ = {по правилу треугольников} = = D. Аналогичный результат получается при разложении определителя по любой строке (столбцу). Fin.

Следствие. Если в i–й строке (j-м столбце) определителя D есть только один ненулевой элемент а_ij ¹ 0, то результатом разложения определителя по этой строке (столбцу) будет выражение D = а_ij×А_ij.

Определители n-го порядка удовлетворяют свойствам:

1) При транспонировании определителя его значение не меняется, (то есть значение определителя не меняется при замене его строк столбцами с теми же номерами).

Доказательство:

D = = = a₁₁×a₂₂ - а₁₂×а₂₁

NB. Следовательно, строки и столбцы определителя равноправны, поэтому его свойства можно формулировать и доказывать либо для строк, либо для столбцов.

2) При взаимной перестановке любых двух строк (столбцов) определителя его знак меняется на противоположный.

Доказательство:

D = = a₁₁×a₂₂ - а₁₂×а₂₁ = - (а₁₂×а₂₁ - a₁₁×a₂₂) = -

3) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Пусть определитель D имеет две одинаковые строки. Если поменять их местами, то, с одной стороны, величина определителя не изменится, так как строки одинаковы, а с другой стороны определитель должен поменять свой знак на противоположный по свойству 2. Таким образом, имеем: D = -D Þ D = 0.

4) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Доказательство:

D= = la₁₁×a₂₂ - lа₁₂×а₂₁ = l(a₁₁×a₂₂ - а₁₂×а₂₁) = l .

Следствие: D = = l×m .

NB. Правило умножения определителя на число. Чтобы умножить определитель на число, надо все элементы какой-то одной его строки (столбца) умножить на это число.

5) Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Доказательство. По свойству 4 вынесем общий множитель l = 0 элементов нулевой строки (столбца) за знак определителя. Получим 0×D = 0.

6) Определитель с двумя и более пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Если вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности двух строк (столбцов) l≠0, то получится определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равный нулю по свойству 3.

7) Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представить в

виде суммы k слагаемых, то такой определитель равен сумме k определителей, у которых элементы этой строки (столбца) заменены соответствующими слагаемыми, а все остальные элементы такие же как у исходного определителя.

Доказательство:

D= = (а₁₁ + b₁₁)а₂₂ - (а₁₂ + b₁₂)а₂₁ = (а₁₁а₂₂ - а₁₂а₂₁) + (b₁₁а₂₂ - b₁₂а₂₁) = = + .

Опр. n-ая строка определителя называется линейной комбинацией его остальных (n-1) строк, если ее можно представить в виде суммы произведений этих строк на соответствующие числа l₁, l₂, …, l_n-1. Например, в определителе

3–я строка является линейной комбинацией первых двух строк.

NB. Линейная комбинация называется тривиальной, если в ней "l_i = 0. В противном случае линейная комбинация называется нетривиальной (if $l_i ¹ 0).

8 а) Если одна строка (столбец) определителя является линейной комбинацией других его строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.

Доказательство: D =

8 б) Величина определителя не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца) определителя, умноженные на одно и то же число.

Доказательство:

Пусть D= Þ {к 1-й строке прибавим 2-ю строку, умноженную на число l} Þ

Þ = .

9) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) определителя равна нулю, то есть = 0 (if i ≠ j).Например, пусть

D = ¹ 0

Тогда а₁₁А₂₁ + а₁₂А₂₂ + а₁₃А₂₃ = 0, так как выполнено умножение элементов 1-ой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов 2-ой строки.

Доказательство:

а₁₁А₂₁ + а₁₂А₂₂ + а₁₃А₂₃ = а₁₁×(-1)²⁺¹ + а₁₂×(-1)²⁺² + а₁₃×(-1)²⁺³ =

={это есть разложение по 1-й строке определителя (-1)× = 0}= 0.

Если определитель D¹0, то по свойству 8 б) в нем всегда можно «обнулить» i-ю строку (j-й столбец) до единственного ненулевого элемента и разложить определитель по этой строке (столбцу). Применяя эту операцию нужное число раз, всегда можно из определителя n-го порядка получить определитель 2-го порядка.