Примеры. 1. Найти промежутки убывания и возрастания функции

1. Найти промежутки убывания и возрастания функции

Решение:

4)

(для определения знаков производной использовали метод интервалов)

Ответ: при функция убывает, при функция возрастает.

2. Исследовать функцию f(x)=x³-3x²+4 с помощью производной и построить ее график.

Решение:

4)

x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума.

5) f(0)=4; f(2)=0

Используя результаты исследования, строим график функции: f(x)=x³-3x²+4

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение:

3) Из чисел и 4 наибольшее , наименьшее 4.

Ответ:

4.Найти длины сторон прямоугольника с периметром 20см, имеющего наименьшую диагональ.

Решение:

Пусть а и в длины сторон прямоугольника, d - его диагональ. Тогда a+b=10. По теореме Пифагора d²=a²+b². По условию задачи a>0,b>0. b=10-a>0, значит 0 < a < 10.
d²=a²+(10-a)²=2a²-20a+100, 0< a < 10.

Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения а, при котором функция d(a)=2a²-20a+100 принимает наименьшее значение на интервале 0 < a <10.

Найдем производную d'(a)=4a-20.

Критическая точка .

a=5 точка минимума. Следовательно, наименьшее значение функция d(a) на интервале (0;10) принимает в точке a=5. При этом b=5.

Ответ: 5см, 5см.