Две основные задачи динамики и их решения

Первая, основная задача динамики точки заключается в том, чтобы по заданному закону движения материальной точки определить результирующую или одну из составляющих сил, действующих на эту точку.

При наличии нескольких сил, действующих на точку, второй закон Ньютона дает основное уравнение динамики точки

Для векторного способа задания движения

где r = r (t) – радиус-вектор, определяющий положение точки по отношению к выбранной системе отсчета.

Для координатного способа задания движения точки

где x = x (t), y = y (t), z = z (t) – координаты точки, заданные как функции времени.

Для естественного способа задания движения точки

Fib,

где dV/ dt – проекция ускорения точки на касательную в данной точке (касательное ускорение), V2/ ρ – проекция ускорения на нормаль (нормальное ускорение),

ρ – радиус кривизны траектории.

В правой части уравнений – проекции сил на касательную ΣFiτ,

нормаль ΣFin и бинормаль ΣFib.

По заданному закону движения точки определяются правые части этих уравнений, и далее может быть определена результирующая сила

– при координатном способе задания движения:

– при естественном способе или одна из составляющих сил:

Вторая, основная задача динамики точки заключается в том, чтобы по заданным силам, действующим на точку, определить ее движение.

Пусть на материальную точку действует некоторая система сил и требуется определить движение точки под действием этих сил.

Уравнение второго основного закона динамики для материальной точки массой m запишется в виде

Спроектировав уравнение (4.1) на декартовы оси координат, получим систему из трех уравнений

где ax, ay, az – проекции ускорения точки на декартовы оси координат;

Fx, Fy, Fz – проекция i -й силы на соответствующую ось.

Спроектировав уравнение (4.1) на естественные оси координат, получим следующую систему уравнений:

maτ = ΣFτi,

man = ΣFni,

0 = ΣFbi.

Учитывая, что

где V – алгебраическое значение скорости, получим

Fbi