Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Уже известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения f (х), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (), такова:

P ( X ) =

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (), равна

P ( X ) =

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную z = (x — а) /. Отсюда x = z+a, dx = dz. Найдем новые пределы интегрирования. Если х= , то z= ( a) /; если х = , то z = ( а) /.

Таким образом, имеем

Пользуясь функцией Лапласа

окончательно получим

(*)

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность, того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. Воспользуемся формулой (*). По условию,  =10, =50, а = 30,  =10, следовательно,

P (10 <X< 50) = 

По таблице приложения 2 находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда искомая вероятность

Р (10 < X < 50) = 2 * 0, 4772 = 0, 9544.