А) Сложение и умножение вероятностей. Полная вероятность. Формула Байеса

Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие может произойти вместе с одним из несовместных событий, составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события при наступлении события.

Теорема. Вероятность события, которое может произойти вместе с одним из событий, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события.

Фактически эта формула полной вероятности уже использовалась при решении примеров, приведенных выше, например, в задаче с револьвером.

Доказательство. Т.к. события образуют полную группу событий, то событие можно представить в виде следующей суммы:

Т.к. события несовместны, то и события тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

При этом

Окончательно получаем: Теорема доказана.

Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна, для второго -, для третьего -. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна.

Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

- для первого стрелка:

- для второго стрелка:

- для третьего стрелка:

Искомая вероятность равна:

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий и называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий или.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

В случае, когда события и совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Где - произведение событий и.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью события называется вероятность события, вычисленная при условии, что событие произошло. Аналогично через обозначается условная вероятность события при условии, что событие наступило.

Произведением двух событий и называется событие, состоящее в совместном появлении события и события.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий иравна произведению вероятностей этих событий:

Следствие. При производимых одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события появляется с вероятностью, вероятность появления события хотя бы один раз равна

Формула Байеса (формула гипотез)

Теорема Байеса, Формула Байеса -- одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза), имея на руках лишь косвенные тому подтверждения (данные), которые могут быть неточны. Названа в честь ее автора, преп. Томаса Байеса (посвященная ей работа впервые опубликована в 1763 году, уже после его смерти). Полученную по формуле вероятность можно далее уточнять, принимая во внимание данные новых наблюдений.

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез с известными вероятностями их наступления. Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности.

Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы относительно события, т.е. условные вероятности.

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

Эта формула называется формулой Бейеса.

б) Решить