Основное отличие формулы неопределенного интеграла и определенного интеграла

При вычислении неопределенного интеграла необходимо вернуться к старой переменной, при вычислении определенного интеграла этого делать не надо.

Замечание. — короткая запись формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры. 1) Рассмотрим интеграл Положим . Так как t = 0 при

2) Рассмотрим интеграл; Тогда

при при t=(Пи). Поэтому

26. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Док-во. Функция является первообразной для функции , действительно,

Следовательно — формула Ньютона-Лейбница,
или

Формула Ньютона-Лейбница (доказательство).

Если функция f (x) непрерывна на промежутке [ a, b ], то

(1)

где F (x) – первообразная функции f (x):

(2)

Формула (1) называется формулой Ньютона–Лейбница.

Доказательство. Сначала покажем, что функция

(3)

является первообразной функции f (x).
Согласно определению производной,

(4)

С учетом свойства 6,

(5)

Тогда

(6)

Применяя теорему о среднем к промежутку , представим интеграл в числителе в виде

(7)

где и при .
Следовательно,

(8)

Возвратимся к уравнению (3). Полагая x = a, находим значение постоянной C:

(9)

Полагая в этом же уравнении x = b, получаем:

(10)

Таким образом, для вычисления определенного интеграла от f (x) по промежутку [ a, b ] достаточно найти первообразную F (x) функции f (x), вычислить ее в точках a и b и вычесть F (a) из F (b).

Несобственные интегралы. Типы. Сходимость.

Пусть f(x) определена на [a,b) и неограниченна в левосторонней окрестности точки (в точке разрыва 2 рода). Т.е. .

Будем считать, что f(x) интегрируема на [a,b- ], >0: I=I()= зависщий от переменного верхнего предела.

Df: Несобственный интеграл от функции f(x), непрерывный на промежутке [a,b) и имеющий разрыв 2 рода в т или несобственный интеграл 2 рода называется предел интеграла I():

,

Аналогично звучит df если f(x) имеет ∞ в точке а.

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (I рода) от непрерывной ф-ии y=f(x) на промежутке [a, ∞) называется предел интеграла.

I(b)= =

Признаки сходимости. Первый признак сравнения(теорему доказать). Второй (предельный) признак сравнения(без док.)

Признаки сходимости:

Если функция f(x)>=0 на [a, +∞),то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы , a<=η<+∞ было ограниченно т.о. существует A>0 | η [a, +∞) <=A

Первый признак сравнения:

Теорема1:

Путь заданы две функции f(x) и g(x), неотрицательные на [a,+∞) и 0<=f(x)<=g(x) x [a,+∞).

Тогда 1) если –сходится, то тоже сходится.

2)если - расходится, то - расходится.

Доказательство:

1) [a,+∞) т.к. 0<=f(x)<=g(x) имеем интеграл <= ,

Если - сходится, то по Лемме -ограничена. -ограниченные по Лемме.

- сходится

2) Если расходится, то по п.1) интеграл не может сходится - расходится.

Теорема2:Предельный признак сравнения.

Пусть f(x) и g(x) неотрицательная на [a,+ ), y(x) x [a,+ ) и пусть существует конечный предел отношения , в этом случае и сходятся и расходятся одновременно. Ряд g(x) называется функцией сравнения.

Вычисление площади в полярной системе координат.

Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом и соответствующим полярным радиусом . - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки), а - это расстояние от заданной точки до начала координат (полюса).

На рисунке полюс изображен черной точкой, полярная ось – черным жирным лучом, а красная точка определяется углом и расстоянием до полюса .

На практике очень часто полярную систему координат рассматривают вместе с прямоугольной декартовой, совмещая начала координат и полярную ось с осью абсцисс.

Связь декартовых и полярных координат задается соотношениями и обратно .

На чертеже красная точка имеет координаты , а в полярной системе координат определяется углом и расстоянием до полюса .

В полярной системе координат равенство задает луч, выходящий из полюса и составляющий угол с полярной осью ( задается в радианах или градусах). Полярная ось задается уравнением . Равенство задает окружность с центром в начале координат радиуса C. В свою очередь функция определяет некоторую линию в полярных координатах.

Обратите внимание, что мы будем считать функцию всегда НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ, так как с геометрической позиции она задает расстояние от полюса до точки для данного значения угла . Однако, иногда рассматривают и отрицательные значения функции , так что желательно уточнить у преподавателя его отношение к этому вопросу.

Ниже на рисунке приведены несколько примеров линий в полярной системе координат.

Теперь можно дать определение криволинейного сектора.

Определение.

Криволинейный сектор – это фигура, ограниченная лучами и некоторой линией , которая непрерывна на отрезке .

На чертеже приведены несколько примеров криволинейных секторов.

На последнем рисунке фигура заключена между лучами , но они не являются ее границами.

К началу страницы