Приложение к теме 2. Для тех, кто не боится математики

Мы рассматривали наклон кривой безразличия между двумя её точками, то есть измеряли средний наклон. На выпуклой кривой, каковой является кривая безразличия, большая точность в определении MRS достигается измерением наклона касательной к точке и использованием понятия производной.

Докажем, используя методы математического анализа, что наклон кривой безразличия равен соотношению предельных полезностей. Этот материал будет полезен для решения задачи нахождения потребительского оптимума при заданной функции полезности.

Общая полезность наборов на данной кривой безразличия является постоянной величиной, Ū. Это также функция потребляемых количеств товара a и товара b: U = U(Q_a,Q_b).

Общий дифференциал этой функции:

Так как общая полезность является постоянной величиной, то dU = 0.

Тогда,

и

Это значит, что отрицательный наклон кривой безразличия (или - dQ_a/dQ_b), который является предельной нормой замещения товаром b товара a, равен отношению предельной полезности товара b к товару a.