Теплопроводность через плоские, цилиндрические, 1-слойные и многослойные стенки

Теплопроводность – это перенос тепла от одних частей тела к другим обусловленный разновидностью температур. С физической точки зрения это молекулярный перенос.

Если внутри тела или материала имеется разность температур, то тепловая энергия переходит от более горячей его части к более холодной и передаёт ей свою тепло. Данный вид теплопередачи, который обусловлен тепловыми движениями и столкновениями молекул, называется теплопроводность. При достаточно высоких температурах в твердых телах его можно наблюдать визуально.

Виды теплопроводности Бывает:

-стационарная теплопроводность

-не стационарная теплопроводность

В общем случае процесс теплопереноса теплопроводностью сопровождается изменением температуры в пространстве и во времени.

Стационарное температурное поле – это если температура тела не изменяется с течением времени и зависит только от геометрических размеров тела.

Нестационарное температурное поле – это когда изменение температуры тела зависит от времени.

Количественная характеристика изменения температуры на бесконечно малом отрезке тела характеризует градиент температуры.

Градиент температуры математическими терминами – это предел изменения температуры к нормали, причём последнее стремиться к нулю.

Градиент – это вектор направленный к изометрической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равен частной производной этой температуры по этому направлению.

1).Однородная плоская стенка (Рис.9.2.).

Температуры поверхностей стенки –tст1 и tст2.

Плотность теплового потока:

q = -λ∙ ∂t/∂n = - λ∙ ∂t/∂x = - λ∙ (tcт2 - tcт1)/(xcт2 - xcт1) или q = λ∙ (tcт2 - tcт1)/(xcт2 - xcт1)∙ Dt/Dx (9.13)

Тогда q = λ/δ∙(tст1 – tст2) = λ/δ∙Δt, (9.14)

Если R =δ/λ -термическое сопротивление теплопроводности стенки [(м2∙К)/Вт], то плотность теплового потока:

q = (tст1 – tст2)/R. (9.15)

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность F за время τ определяется:

Q = q∙F∙τ = (tст1 – tст2)/R·F∙τ. (9.16)

Температура тела в точке с координатой х находится по формуле:

tx = tст1 – (tст1 – tст2)∙x/ δ. (9.17)

2).Многослойная плоская стенка.

Рассмотрим 3-х слойную стенку (Рис.9.3). Температура наружных поверхностей стенок tст1 и tст2, коэффициенты теплопроводности слоев λ1, λ2, λ3, толщина слоев δ1, δ2, δ3.

Плотности тепловых потокок через каждый слой стенки:

q = λ1/δ1∙(tст1 – tсл1), (9.18)

q = λ2/δ2∙(tсл1 – tсл2), (9.19)

q = λ3/δ3∙(tсл2 – tст2), (9.20)

Решая эти уравнения, относительно разности температур и складывая, получаем:

q = (t1 – t4)/(δ1/λ1 + δ2/λ2 + δ3/λ3) = (tст1 – tст4)/Ro, (9.21)

где: Ro = (δ1/λ1 + δ2/λ2 + δ3/λ3) – общее термическое сопротивление теплопроводности многослойной стенки.

Температура слоев определяется по следующим формулам:

tсл1 = tст1 – q∙(δ1/λ1). (9.22)

tсл2 = tсл1 – q·δ2/λ2). (9.23)

Цилиндрические стенки.

1). Однородная цилиндрическая стенка.

Рассмотрим однородный однослойный цилиндр длиной l, внутренним диаметром d1 и внешним диаметром d2 (Рис.9.4).

Температуры поверхностей стенки – tст1 и tст2.

Уравнение теплопроводности по закону Фурье в цилиндрических координатах: Q = - λ∙2∙π∙r ·l· ∂t / ∂r (9.24)илиQ = 2·π·λ·l·Δt/ln(d2/d1), (9.25)где: Δt = tст1 – tст2 – температурный напор;

λ – κоэффициент теплопроводности стенки.

Для цилиндрических поверхностей вводят понятия тепловой поток единицы длины цилиндрической поверхности (линейная плотность теплового потока), для которой расчетные формулы будут: ql = Q/l =2·π·λ·Δt /ln(d2/d1), [Вт/м]. (9.26)

Температура тела внутри стенки с координатой dх:tx = tст1 – (tст1 – tст2) ·ln(dx/d1) / ln(d2/d1). (9.27)2). Многослойная цилиндрическая стенка.

Допустим цилиндрическая стенка состоит из трех плотно прилегающих слоев (Рис.9.5).

Температура внутренней поверхности стенки – tст1, температура наружной поверхности

стенки – tст2, коэффициенты теплопроводности слоев - λ1, λ2, λ3, диаметры слоев d1, d2, d3, d4.

Тепловые потоки для слоев будут:

1-й слойQ = 2·π· λ1·l·(tст1 – tсл1)/ ln(d2/d1), (9.28)

Й слой

Q = 2·π·λ2·l·(tсл1 – tсл2)/ ln(d3/d2), (9.29)

Й слой

Q = 2·π·λ3·l·(tсл2 – tст2)/ ln(d4/d3), (9.30)

Решая полученные уравнения, получаем

для теплового потока через многослойную стенку:

Q = 2·π·l·(tст1 – tст2) / [ln(d2/d1)/λ1 + ln(d3/d2)/λ2 + ln(d4/d3)/λ3]. (9.31)

Для линейной плотности теплового потока имеем: ql = Q/l = 2·π· (t1 – t2) / [ln(d2/d1)/λ1 + ln(d3/d2)/λ2 + ln(d4/d3)/λ3]. (9.32)

Температуру между слоями находим из следующих уравнений

tсл1 = tст1 – ql·ln(d2/d1) / 2·π·λ1. (9.33)

tсл2 = tсл1 – ql·ln(d3/d2) / 2·π·λ2. (9.34)