Колебательное звено. – коэффициент передачи; – постоянная времени

– коэффициент передачи; – постоянная времени

Иногда используют другую форму записи ПФ колебательного звена:

,

где 0<x<1 – коэффициент демпфирования;

– угловая частота колебательного звена;

a, b – модули действительной и мнимой частей полюсов ПФ колебательного звена.

Доказательство. Корни уравнения равны

, поскольку .

Для определения коэффициентов a, b приравняем знаменатели первого и последнего выражений для ПФ:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p, можно найти:

; ; .

Дифференциальное уравнение:

.

Выражения для переходной и весовой функций могут быть выведены с помощью обратного преобразования Лапласа с использованием теоремы разложения при комплексных корнях (примите без доказательства).

Вывод выражения для переходной функции:

.

Вывод выражения для весовой функции:

.

Переходная функция (см. рисунок)

,

где .

Весовая функция (см. рисунок)

.

Установившееся значение:

h_уст = k

Значение времени первого согласования t_c можно узнать, если в выражении для переходной функции приравнять синус нулю, тогда , отсюда

.

Время t_m достижения максимального значения можно узнать, приравняв значение весовой функции нулю:

.

Равенство нулю весовой функции будет иметь место также для всех , где – положительное целое число (см. рисунок).

Подставив t_m в выражение для переходной функции, определим максимальное значение выходной переменной в переходном режиме:

,

где .

Наконец, перерегулирование

.

Известны соответствующие графики зависимостей [3] и :

Частотная характеристика:

.

АЧХ .

ФЧХ .

ЛАЧХ .

ЛФЧХ .

Асимптотическая ЛАЧХ. При малых частотах можно пренебречь составляющей , тогда . При больших частотах под радикалом можно пренебречь единицей по сравнению с , и тогда

.

Таким образом, асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена состоит из двух отрезков, пересекающихся на оси частот в точке, соответствующей частоте сопряжения (см. рисунок). Реальная ЛАЧХ достаточна близка к асимптотической (погрешность на частоте сопряжения не превышает 6 дБ) при x =0,2…1,0. В остальных случаях (когда x £0,2) следует воспользоваться либо кривыми поправок [1], либо точным математическим выражением для ЛАЧХ.

Асимптотическая ЛФЧХ. При частоте сопряжения . При малых , а при больших . Но асимптотическая ЛФЧХ совпадает с реальной только при (см. рисунок), в остальных случаях различие существенное, поэтому следует пользоваться ее математическим выражением.

7. Определение параметров колебательного звена.

Иногда форма записи ПФ колебательного звена может отличаться от стандартных. Возникает вопрос определения параметров Т и x колебательного звена.

Например, ПФ двигателя постоянного тока по управляющему воздействию имеет вид:

.

Здесь и . Отсюда

.

Если оказывается, что , имеем колебательное звено. В противном случае () корни знаменателя ПФ становятся действительными, тогда звено представляет собой последовательное соединение двух апериодических звеньев.

Таким образом, значение говорит о том, какой характер переходного процесса будет иметь место на выходе звена. Применительно к двигателю постоянного тока , когда , и будет иметь место колебательный (с перерегулированием) процесс при скачкообразном приложении управляющего воздействия. В противном случае переходный процесс будет апериодическим

(с дотягиванием).

8. Форсирующее звено 2-го порядка

– постоянная времени

Имеет ПФ, обратную ПФ колебательного звена при , . Поэтому здесь вкратце приведем основные математические зависимости.

Дифференциальное уравнение:

.

Частотная характеристика:

.

АЧХ .

ФЧХ .

ЛАЧХ .

ЛФЧХ .

ЛАЧХ может бать заменена асимптотами при изменения коэф. демпфирования в диапазоне от 0,4 до 1 в противном случае ЛАЧХ необходимо строить по ее точному выражению.

ЛФЧХ асимптот не имеет, строится строго по полученым выражениям.

9. Звено чистого (транспортного) запаздывания

Некоторые ОУ могут обладать запаздыванием (например, трубопроводы, длинные линии, транспортеры). Запаздывание проявляется в том, что при изменении входного воздействия выходная переменная начинает изменяться не сразу, а спустя некоторый промежуток времени t, называемый временем чистого или транспортного запаздывания.

.

Переходная функция (см. рисунок)

Весовая функция (см. рисунок)

Частотная характеристика:

АЧХ .

ФЧХ .

ЛАЧХ .

ЛФЧХ .

10. Построение логарифмических частотных характеристик