Изображение напряжений и токов комплексными числами и векторами на комплексной плоскости

Запишем комплексное число в виде

I m = I m е j α = I m cos α + jI m sin α

Допустим, что вектор комплексного числа I m вращается с постоянной угловой частотой ω и угол α = ω t + ψ. Тогда

I m = I m е j (ω t + ψ) = I m cos (ω t + ψ) + jI m sin (ω t + ψ).

Слагаемое I m cos (ω t + ψ) представляет собой действительную часть комплексного числа и обозначается

I m cos (ω t + ψ) = Re I m е j (ω t + ψ).

Слагаемое I m sin (ω t + ψ) есть коэффициент при мнимой части комплексного числа и обозначается

I m sin (ω t + ψ) = Im I m е j (ω t + ψ).

Легко видеть, что коэффициент при мнимой части комплексного числа представляет собой выражение мгновенного значения синусоидального тока

i = I m sin (ω t + ψ)

и является проекцией вращающегося вектора I m на мнимую ось комплексной плоскости.

Синусоидально изменяющиеся по времени величины изображаются на комплексной плоскости для момента времени t = 0. Тогда комплексная амплитуда I m записывается в виде

I m = I m e j ψ,

где I m — комплексная амплитуда; I m - ее модуль, а ψ - угол между вектором I m, и действительной осью.

Таким образом, комплексная амплитуда изображает синусоидальный ток на комплексной плоскости для момента времени t = 0.

Допустим, что в электрической цепи мгновенные значения напряжений и тока имеют выражения

и = U m sin(ω t + ψ1);
i = I m sin (ω t + ψ2).

Комплексные амплитуды напряжения и тока должны быть записаны в виде

U m = U m e j ψ1;
I m = I m e j ψ2;

где U m и I m — соответственно модули комплексных амплитуд напряжений и тока; ψ1 и ψ2 — начальные фазы U m и I m относительно действительной оси (углы начальных фаз).

Обычно принято выражать в виде комплексных чисел не амплитуды, а действующие значения напряжений и токов:

U =	U m	e j ψ1 - Ue j ψ1, I =	I m	ej ψ2 = Ie j ψ2.
√2	√2

Рис. 2.24. Изображение напряжения и тока в виде векторов на комплексной плоскости (а и б) электрических цепей (в и г)

Если ψ1 > ψ2, то векторы напряжения и тока расположены на комплексной плоскости так, как показано на рис. 2.24, а. Напряжение опережает по фазе ток, так как векторы вращаются против часовой стрелки и, следовательно, цепь имеет активно-индуктивный характер (рис. 2.24, в).

При ψ2 > ψ1 (рис. 2.24, б) ток опережает по фазе напряжение и цепь имеет активно-емкостный характер (рис 2.24, г).

6. Схема замещения асинхронного двигателя (АД). Крутящий момент АД.

Схемы замещения асинхронного двигателя

Для расчета характеристик асинхронного двигателя и исследования различных режимов его работы удобно использовать схемы замещения.

При этом реальная асинхронная машина с электромагнитными связями между обмотками заменяется относительно простой электрической цепью, что позволяет существенно упростить расчет характеристик.

С учетом того, что основные уравнения асинхронного двигателя (2.25) аналогичны таким же уравнениям трансформатора (1.23), схема замещения двигателя такая же, как и у трансформатора, представлена она на рисунке 2.6.

Рисунок 2.6 – T-образная схема замещения асинхронного двигателя

Изображенная на рисунке 2.6 схема называется T -образной схемой замещения (сопротивления , и образуют букву Т), в ней: r 1 и x 1– активное и индуктивное сопротивления фазной обмотки статора; и – при-веденные активное и индуктивное сопротивления фазной обмотки ротора.

Сопротивление определяет параметры намагничивающей ветви схемы. Индуктивная составляющая является индуктивным сопротивлением взаимной индукции. Посредством сопротивления учитываются магнитные потери в стали статора . Как и в трансформаторе, сопротивление зависит от подведенного напряжения U 1. С повышением U 1 сопротивление уменьшается.

При расчете характеристик асинхронного двигателя с использованием схемы замещения ее параметры должны быть известны. Схема рисунка 2.6 полностью отражает физические процессы, происходящие в двигателе, но имеет узловую точку между сопротивлениями и , что усложняет расчет токов при различных значениях скольжения. Поэтому большое практическое применение для анализа режимов работы асинхронных машин находит другая схема замещения, в которой намагничивающая ветвь подключена непосредственно на входе схемы, куда подводится напряжение U 1 (рисунок 2.7). Данная схема называется Г -образной схемой замещения.

Рисунок 2.7 – Г -образная схема замещения асинхронного

двигателя (а) и ее упрощенный вариант (б)

На рисунке 2.7, а комплексный коэффициент

или .

Так как x 1 >> x m, то незначительно больше единицы ().

Если пренебречь коэффициентом , то получим упрощенную Г -образную схему замещения (рисунок 2.7, б), которую используют при практических расчетах асинхронных двигателей средних и больших мощностей. При этом погрешность в расчете не превышает 1–5%.

Необходимость учета коэффициента возникает главным образом при анализе асинхронных двигателей небольшой мощности.

Согласно (2.22) активное сопротивление обмотки ротора двигателя разбито на две части: . Первое сопротивление не зависит от режима работы, и потери в нем равны электрическим потерям реального ротора. Второе сопротивление зависит от скольжения, и мощность, выделяемая в нем, численно равна механической мощности двигателя Рмех. Следовательно сопротивление в схеме замещения выполняет роль нагрузки двигателя.

Из упрощенной Г-образной схемы замещения можно определить приведенный ток роторной обмотки

. (2.26)

В дальнейшем (2.26) используется при выводе уравнения электромагнитного момента асинхронного двигателя.