Нелинейное программирование. Экстремум функции двух переменных

Задачами нелинейного программирования называются задачи математического программирования, в которых нелинейными являются и (или) целевая функция, и (или) ограничения в виде неравенств или равенств.

Максимумом (минимумом) функции называется такое ее значение , которое больше (меньше) всех других значений, принимаемых ею в точках, достаточно близких к точке и отличных от нее.

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Точки экстремума функции двух переменных надо искать среди тех точек, лежащих внутри области ее определения, координаты которых удовлетворяют системе

Точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, называются стационарными.

Но не всякая такая точка действительно будет точкой максимума или минимума. Каждую стационарную точку надо специальным образом проверить. Для функции двух переменных проверка стационарной точки требует:

1) нахождения в этой точке значений вторых производных:

, , ,

которые обозначим буквами , , соответственно;

2) определения знака :

если , то в стационарной точке нет экстремума;

если , то экстремум есть, причем min, если и max, если ;

если , то ничего сказать нельзя – требуется дополнительное исследование.